Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 15
14.15. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o ponto de vista que mostre os aspectos importantes da função.
Passo 1
A gente tem que determinar os pontos extremos da nossa função, e depois ver se são pontos de mínimo, de máximo ou um ponto de sela.
Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.
Vamos começar determinando nossas derivadas
Vamos derivar primeiro em relação à , basta tratar como uma constante
E agora em relação a
Passo 2
Beleza, agora a gente já tem nossas derivadas, os pontos interessantes vão acontecer quando elas forem iguais à 0. Então
Vamos usar a primeira equação
Nós só precisamos saber quando o seno é zero. Isso acontece quando , sendo que é um número inteiro.
Agora analisando . Uma condição é , para cada valor onde .
Então nossos pontos de interesse são os pontos do tipo
Passo 3
Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar
Podem ocorrer três casos:
- então é um mínimo local.
- então é um máximo local.
- então não é nem mínimo e nem máximo local.
Vamos calcular as segundas derivadas então
Agora derivamos isso em relação a
A outra derivada que precisamos é
Derivando em relação a
E a última derivada que precisamos é
ou
Vamos derivar isso em relação a
Então
Passo 4
Vamos testar para o ponto
Esse valor será sempre negativo pois é sempre positivo.
Então
Logo todos os pontos de interesse são pontos de sela.
Passo 5
Agora só falta fazer o gráfico.
Resposta
São todos pontos de sela.