Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 14.7 - Ex. 9
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, trace a função com um domínio e um ponto de vista que mostrem os seus aspectos importantes
Passo 1
Neste exercício, precisamos encontrar e classificar os pontos críticos da função. Vamos calcular as derivadas parciais, resolver o sistema das equações para encontrar os valores de e , em seguida, usar o segundo teste de derivada.
Para encontrarmos os pontos críticos deveremos fazer:
E
Depois deveremos testar esses pontos críticos na seguinte equação:
Podem ocorrer três casos:
- então é um mínimo local.
- então é um máximo local.
- então não é nem mínimo e nem máximo local.
Então vamos comer a encontrar as derivadas da nossa função:
Passo 2
Vamos então calcular as derivadas parciais:
Em relação a a gente tem:
E o zero dessa função é:
Agora derivando em relação a :
E o zero dessa função é:
Assim, o único ponto crítico seria .
As segundas derivadas parciais são:
E temos que a segunda derivada:
E derivando em relação a :
e derivando :
Então,
Como, , logo é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é .
é um ponto de sela.