Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 11
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
Essa questão nos pede para encontrar os pontos críticos dessa função de duas variáveis, e a partir desses pontos, descobrir quais desses pontos são pontos de máximo, mínimo ou pontos de sela.
No cálculo de uma variável, descobrimos um ponto crítico de uma função ao tomar sua primeira derivada de modo que
Calculada essa expressão e encontrados os pontos críticos, tomamos a segunda derivada da função avaliada no ponto crítico para descobrirmos se é um ponto de máximo ou de mínimo
Para uma função de mais de uma variável, temos testes análogos para obter os pontos críticos.
Dessa vez, no entanto, devemos levar em consideração as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos
Porém, diferente do caso de uma variável, o teste para se obter máximos, mínimos e pontos de sela é realizado a partir do determinante de uma matriz chamada matriz hessiana
Sendo .
A partir do cálculo dessa determinante com as derivadas avaliadas em um ponto crítico , temos que
é um ponto de mínimo local;
é um ponto de máximo local;
Se , então é um ponto de sela.
Realizaremos esse teste para avaliar quais os pontos críticos da função.
Primeiro calcularemos suas derivadas parciais para obter os pontos críticos.
Em seguida calcular as derivadas segundas para calcular o determinante e descobrir quais os pontos de máximo, mínimo e de sela.
Passo 2
A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!
Nesse problema, nossa função é
Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:
Os pontos críticos são obtidos fazendo . Assim,
Juntando os dois resultados temos
Para , temos por que . Porém, não é válido por conta da relação , de modo que nossos pontos críticos serão
Com isso temos dois pontos críticos
Passo 3
Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:
Assim, o determinante hessiano será
Logo,
O termo que vai controlar o sinal de é
Passo 4
Para , temos que , e portanto, trata-se de um ponto de sela.
Já para , obtemos enquanto , de modo que é um mínimo local.
Passo 5
Encontrados os pontos de sela e mínimo, podemos traçar um gráfico.
Para traçá-lo podemos começar por curvas de nível
Essas curvas possuem forma
Para valores positivos de
Para valores negativos de .
Sobrepondo as curvas de nível podemos montar nossa superfície no espaço .
Os pontos marcados são os pontos críticos.
Resposta
Os pontos críticos são .
As segundas derivadas parciais são: , e
- ponto de sela
- mínimo local