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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 10

Calcule a integral dupla.

∬ D e y 2 d A ,                                 D = { ( x , y ) | 0 ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ x ≤ y }

Passo 1

Faala, galera!

Nessa questão a gente vai precisar calcular uma integral dupla sobre uma região D que ela deu.

Vamos começar olhando pra essa região, pra acharmos os limites de integração de x e y , e reescrever a integral como uma integral iterada!

Mas é importante a gente lembrar uma coisa: se os limites de integração de uma das variáveis dependerem da outra, a gente vai precisar integrar essa variável primeiro.

Então vamos pras contas!

Passo 2

A região de integração é:

D = { ( x , y ) | 0 ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ x ≤ y }

Ou seja, os limites de x e y são:

0 ≤ y ≤ 1

0 ≤ x ≤ y

Percebeu que os limites de x dependem de y ? Então a nossa integral mais de dentro vai ter que ser em função de x :

∬ D e y 2 d A = ∫ 0 1 ∫ 0 y e y 2 d x d y

Agora só falta calcular a integral iterada!

Passo 3

Primeiro vamos integrar em função de x , mantendo y constante:

∫ 0 1 ∫ 0 y e y 2 d x d y =

Como y é constante, e y 2 também é, e pode sair dessa primeira integral:

= ∫ 0 1 e y 2 ∫ 0 y d x d y =

Resolvendo essa integral de x :

= ∫ 0 1 e y 2 x 0 y d y =

= ∫ 0 1 e y 2 y - 0 d y =

Ficamos com uma integral só em função de y :

= ∫ 0 1 e y 2 y d y

Passo 4

Por fim, vamos integrar em função de y , usando a substituição u = y 2 :

d u = 2 y d y

u 0 = 0

u 1 = 1

Então:

∫ 0 1 e y 2 y d y ⏟ 1 2 d u = ∫ 0 1 1 2 e u d u =

E agora podemos integrar em função de u :

= 1 2 e u 0 1 = 1 2 ( e 1 - e 0 )

⇒   ∬ D e y 2 d A = 1 2 e - 1

Resposta

1 2 ( e - 1 )

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Utilize a propriedade 11 para estimar o valor da integral. ∬ Q e - ( x 2 + y 2 )d A , onde Q é o quarto de círculo com centro na origem e raio 1 2 no primeiro quadrante.
Expresse D como uma união de regiões de tipo I ou do tipo II e calcule a integral. ∬ D x 2d A
Encontre o valor médio de f na região D . f x , y = x y , D é o triângulo com vértices 0,0 , ( 1,0 ) e ( 1,3 ) .
Encontre o valor médio de f na região D . f x , y = xs e ny , D é delimitado pelas curvas y = 0 , y = x 2 e x = 1 .
No cálculo de uma integral dupla sobre uma região D , obtivemos uma soma de integrais iteradas como a que segue: ∬ D f x , yd A = ∫ 0 1 ∫ 0 2 y f x , yd xd y + ∫ 1 3 ∫ 0 3 - y f x , yd xd y Esboce a r