Calcule a integral dupla.

∬ D e y 2 d A ,                                 D = { ( x , y ) | 0 ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ x ≤ y }

Passo 1

Faala, galera!

Nessa questão a gente vai precisar calcular uma integral dupla sobre uma região D que ela deu.

Vamos começar olhando pra essa região, pra acharmos os limites de integração de x e y , e reescrever a integral como uma integral iterada!

Mas é importante a gente lembrar uma coisa: se os limites de integração de uma das variáveis dependerem da outra, a gente vai precisar integrar essa variável primeiro.

Então vamos pras contas!

Passo 2

A região de integração é:

D = { ( x , y ) | 0 ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ x ≤ y }

Ou seja, os limites de x e y são:

0 ≤ y ≤ 1

0 ≤ x ≤ y

Percebeu que os limites de x dependem de y ? Então a nossa integral mais de dentro vai ter que ser em função de x :

∬ D e y 2 d A = ∫ 0 1 ∫ 0 y e y 2 d x d y

Agora só falta calcular a integral iterada!

Passo 3

Primeiro vamos integrar em função de x , mantendo y constante:

∫ 0 1 ∫ 0 y e y 2 d x d y =

Como y é constante, e y 2 também é, e pode sair dessa primeira integral:

= ∫ 0 1 e y 2 ∫ 0 y d x d y =

Resolvendo essa integral de x :

= ∫ 0 1 e y 2 x 0 y d y =

= ∫ 0 1 e y 2 y - 0 d y =

Ficamos com uma integral só em função de y :

= ∫ 0 1 e y 2 y d y

Passo 4

Por fim, vamos integrar em função de y , usando a substituição u = y 2 :

d u = 2 y d y

u 0 = 0

u 1 = 1

Então:

∫ 0 1 e y 2 y d y ⏟ 1 2 d u = ∫ 0 1 1 2 e u d u =

E agora podemos integrar em função de u :

= 1 2 e u 0 1 = 1 2 ( e 1 - e 0 )

⇒   ∬ D e y 2 d A = 1 2 e - 1

Resposta

1 2 ( e - 1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados