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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 8

7-10.

a) Determine o gradiente de f .

b) Calcule o gradiente no ponto P .

c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .

8. f x ,   y = x 2 ln ⁡ y ,   P 3 ,   1 ,   u = - 5 13 i + 12 13 j

Passo 1

E aí, galera! Beleza?

Aqui nós etemos a função f x , y = x 2 ln ⁡ y e queremos calcular o seu gradiente, o gradiente no ponto ( 3,1 ) e a taxa de variação de f nesse ponto e na direção do vetor

u = - 5 13 i + 12 13 j

Vamos resolver cada item em um passo diferente. Vem comigo!

Passo 2

a) De acordo com a seção 14.6 do Stewart, o gradiente de f é calculado da seguinte forma:

∇ f x ,   y = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

Sendo assim, para determinarmos o gradiente precisamos encontrar as derivadas parciais em relação às variáveis que temos. Encontrando essas derivadas:

f x ,   y = x 2 ln ⁡ y

∂ f ∂ x = 2 x ⋅ ln ⁡ y

∂ f ∂ y = x 2 y

Substituindo as derivadas parciais no gradiente:

∇ f x ,   y = 2 x . ln ⁡ y   i + x 2 y j

Passo 3

b) E como fazemos para calcular o gradiente no ponto em questão? É tranquilão pessoal, basta substituirmos o ponto nas nossas variáveis, saca só:

P ( 3 ,   1 )

∇ f 3 ,   1 = 2 ⋅ 3 ⋅ ln ⁡ 1 i + 3 2 1 j

∴ ∇ f 3 ,   1 = 0 i + 9 j

Passo 4

c) Por fim, para determinarmos a taxa de variação da função em questão, no ponto em questão e na direção de um vetor u qualquer, devemos fazer:

D u f x ,   y = ∇ f x ,   y ⋅ u

Para realizar esse produto escalar, é necessário que esse vetor u seja unitário, visto que estamos projetando a função na direção dele e não queremos que o módulo dele influencie o resultado da taxa de variação da função.

Como o gradiente no ponto já foi calculado no passo anterior e nosso vetor é unitário:

u = - 5 13 i + 12 13 j

Se substituirmos na expressão que acabamos de escrever para determinar a taxa de variação da função, teremos:

D u f 3 ,   1 = 0 i + 9 j ⋅ - 5 13 i + 12 13 j

D u f 3 ,   1 = 0 + 108 13

∴ D u f 3 ,   1 = 108 13

Resposta

a) ∇ f x ,   y = 2 x ⋅ ln ⁡ y i + x 2 y j

b) ∇ f 3 ,   1 = 0 i + 9 j

c) D u f 3 ,   1 = 108 13

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