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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 15

14.15. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor v

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 ,     1,2 , - 2     v = < - 6,6 , - 3 >

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Aqui a gente precisa encontrar a derivada direcional da função:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Na direção do vetor:

v = - 6,6 , - 3

E no ponto:

1,2 , - 2

O modo mais simples de resolver esse exercício é usar a equação 14

D u f x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ u

Em que ∇ f é o vetor gradiente:

∇ g = f x , f y , f z

E:

u

É o vetor unitário do vetor direcional, em casos que o vetor dado não é unitário, iremos dividir as coordenadas do vetor pelo seu modulo.

Passo 2

Então vamos começar calculando

∇ f x , y , z

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Veja que aqui iremos precisar aplicar a regra da cadeia para derivar:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Reescrevendo:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 1 2  

Vamos derivar então:

f x = ∂ ∂ x g x 1 2 ⋅ ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2

Teremos então:

f x = x x 2 + y 2 + z 2

Para as outras derivadas o comportamento é similar, então teremos como nosso gradiente:

∇ f x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 i + x x 2 + y 2 + z 2 j + x x 2 + y 2 + z 2 k

E precisamos também do u que é um vetor unitário na direção de v . Bem esse vetor pode ser construído da seguinte forma:

u = v v = - 6 i + 6 j - 3 z - 6 2 + 6 2 + - 3 2

Veja que dividimos nosso vetor direcional pelo seu modulo:

u = 1 9 - 6 i + 6 j - 3 k

u = - 2 3 i + 2 3 j - 1 3 k

Passo 3

Agora é só colocar na equação:

D u f x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ u

Colocando o ponto que nos foi dado:

D u f - 6,6 , - 3 = ∇ f - 6,6 , - 3 ⋅ u

Realizando os cálculos:

D u f - 6,6 , - 3 =

- 6 ( - 6 ) 2 + 6 2 + ( - 3 ) 2 i + - 6 ( - 6 ) 2 + 6 2 + ( - 3 ) 2 j + - 6 ( - 6 ) 2 + 6 2 + ( - 3 ) 2 k ⋅ - 2 3 i + 2 3 j - 1 3 k

Temos então nosso produto escalar:

D u f - 6,6 , - 3 = 1 3 i + 2 3 j - 2 3 k ⋅ - 2 3 i + 2 3 j - 1 3 k

Fazendo esse produto escalar:

D u f - 6,6 , - 3 = 1 3 ⋅ - 2 3 + 2 3 2 3 - 2 3 ⋅ - 1 3

D u f - 6,6 , - 3 = 4 9

E terminamos.

Resposta

D u f - 6,6 , - 3 = 4 9

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