Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 25

14.25. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e sentido em que isso ocorre.

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Ela é rápida de ser feita, o trabalho aqui será a derivação que teremos que fazer. Mas veja, a questão é bem direta, precisamos encontrar a taxa máxima de variação da função:

No ponto:

E precisamos indicar qual a direção e o sentido que ocorre essa taxa de variação máxima.

Para encontrar a taxa de variação máxima de uma função, devemos calcular o modulo do seu gradiente:

Sendo

Já a direção da taxa máxima é o vetor gradiente no ponto que queremos.

Passo 2

Para determinar a direção e o sentido onde a variação é máxima precisamos calcular

Nossa função é a:

Veja que precisamos utilizar a regra da cadeia aqui:

Lembre-se que

Utilizando a regra da cadeia:

Repetindo esse raciocínio para as outras derivadas, teremos:

Simplificando a gente encontra:

Passo 3

A gente pode construir um vetor que aponta a direção e o sentido em que ocorre a maior variação, para isso só precisamos calcular a taxa de variação no ponto que o exercício dá