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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 14

14.14. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor v

g r , θ = e - r sin ⁡ θ ,     0 , π 3     v = 3 i - 2 j

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Aqui a gente precisa encontrar a derivada direcional da função:

g r , θ = e - r sin ⁡ θ

Na direção do vetor:

v = 3 i - 2 j

E no ponto:

0 , π 3

O modo mais simples de resolver esse exercício é usar a equação 14

D u g r , θ = ∇ g r , θ ⋅ u

Em que ∇ g é o vetor gradiente:

∇ g = g r , g θ

E:

u

É o vetor unitário do vetor direcional, em casos que o vetor dado não é unitário, iremos dividir as coordenadas do vetor pelo seu modulo.

Passo 2

Então vamos começar calculando

∇ g r , θ

∇ g r , θ = ∂ g ∂ r i + ∂ g ∂ θ j

Nosso vetor é o:

g r , θ = e - r sin ⁡ θ

Então vamos derivar parcialmente para cada variável:

∇ g r , θ = - e - r sin ⁡ θ i + e - r cos ⁡ θ j

E precisamos também do u que é um vetor unit��rio na direção de v . Veja que esse vetor pode ser construído da seguinte forma

u = v v

Temos então nosso vetor v = 3 i - 2 j dividido pelo seu modulo:

u = 3 i - 2 j 3 2 + - 2 2

Temos então nosso vetor unitário:

u = 1 13 3 i - 2 j

Passo 3

Agora é só colocar na equação

D u g 0 , π 3 = ∇ g 0 , π 3 ⋅ u

Colocando o ponto na equação do gradiente:

D u g 0 , π 3 = - e - 0 sin ⁡ π 3 i + e - 0 cos ⁡ π 3 j ⋅ 1 13 3 i - 2 j

D u g 0 , π 3 = - 3 2 i + 1 2 j ⋅ 1 2 i + j

Realizando o produto vetorial:

D u g 0 , π 3 = - 3 2 ⋅ 1 2 + 1 2 ⋅ 1 2

Temos então que:

D u g 0 , π 3 = 3 3 2 13 - 1 13

Após o mmc:

D u g 0 , π 3 = 3 3 + 2 2 13

E terminamos.

Resposta

D u g 0 , π 3 = 3 3 + 2 2 13

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