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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 5

Método dos mínimos quadrados. Dados n pares de números a 1 ,   b 1 ,   a 2 ,   b 2 , ⋯ ,   a n ,   b n com n ≥ 3 ,   em geral não existirá uma função afim f x = α x + β cujo gráfico passe por todos os n pontos . Entretanto, podemos determinar f de modo que a soma dos quadrados dos erros f a i - b i seja mínima. Pois bem, determine f para que a soma

E α ,   β = ∑ i = 1 n   f a i - b i 2

seja mínima

Passo 1

Vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os candidatos a mínimo. Primeiro, vamos calcular as derivadas

∂ E ∂ α α , β = ∑ i = 1 n   2 α a i + β - b i ⋅ ( a i )

E,

∂ E ∂ β α , β = ∑ i = 1 n   2 α a i + β - b i

Encontrando os pontos críticos,

∂ E ∂ β α , β =   ∂ E ∂ α α , β = 0    

Temos que

∑ i = 1 n     α a i 2 + β ∑ i = 1 n   a i -   ∑ i = 1 n   a i b i = 0   ∑ i = 1 n     α a i + β ∑ i = 1 n   -   ∑ i = 1 n   b i = 0

Organizando as contas,

∑ i = 1 n     α a i 2 + β ∑ i = 1 n   a i =   ∑ i = 1 n   a i b i   ∑ i = 1 n     α a i + β ∑ i = 1 n   =   ∑ i = 1 n   b i

O ponto de mínimo é a solução do sistema acima.

Resposta

Ponto de mínimo é a solução do sistema:

∑ i = 1 n     α a i 2 + β ∑ i = 1 n   a i =   ∑ i = 1 n   a i b i   ∑ i = 1 n     α a i + β ∑ i = 1 n   =   ∑ i = 1 n   b i

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