14.24. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e sentido em que isso ocorre.

f(x, y, z) = x^2 * y^3 * z^4, (1, 1, 1)

Passo 1

A questão pede a direção e sentido de variação máxima da função, o que significa que precisamos encontrar um vetor. O vetor que nos dá essas informações é o chamado vetor gradiente, dado pela definição

∇ f ( x , y , z ) = ∂ f ( x , y , z ) ∂ x , ∂ f ( x , y , z ) ∂ y , ∂ f ( x , y , z ) ∂ z

Como é possível ver pela sua definição, precisaremos calcular suas derivadas parciais para obter o vetor gradiente em um ponto arbitrário do gráfico.

Encontrado esse vetor em um ponto ( x , y , z ) , basta substituirmos os valores por ( 1,1 , 1 ) , e com isso vamos obter o vetor que iremos analisar para chegar ao resultado solicitado pela questão.

Passo 2

Mostrados os passos que iremos seguir para resolver a questão, basta calcularmos inicialmente as derivadas parciais.

∂ f ( x , y , z ) ∂ x = f x = ∂ ∂ x ( x 2 y 3 z 4 ) = 2 x y 3 z 4

∂ f ( x , y , z ) ∂ y = f y = ∂ ∂ y ( x 2 y 3 z 4 ) = 3 x 2 y 2 z 4

∂ f ( x , y , z ) ∂ z = f z = ∂ ∂ y ( x 2 y 3 z 4 ) = 4 x 2 y 3 z 3

Com isso temos a expressão para o vetor gradiente em um ponto arbitrário

∇ f ( x , y , z ) = 2 x y 3 z 4 , 3 x 2 y 2 z 4 , 4 x 2 y 3 z 3

∇ f x , y , z = 2 x y 3 z 4 x ^ +   3 x 2 y 2 z 4   y ^ + 4 x 2 y 3 z 3 z ^

Passo 3

Definido o vetor gradiente em um ponto arbitrário, basta substituir no pontos x , y , z por ( 1,1 , 1 ) solicitado na questão

∇ f 1 , 1 , 1 = 2   x ^ +   3   y ^ + 4   z ^

Com esse resultado conseguimos encontrar tanto a direção quanto o sentido de maior variação da função no ponto solicitado.

Passo 4

Como encontramos o vetor gradiente, a taxa de variação máxima é dada pelo seu módulo que é calculado como

v → = v x x ^   + v y y ^ + v z z ^

v → = v x 2 + v y 2 + v z 2

Realizando essa operação para o operador gradiente obtemos

∇ f ( 1,1 , 1 ) = 2 2 + 3 2 + 4 2 = 29  

Resposta

∇ f 1,1 , 1 = 2 x ^ + 3 y ^ + 4 z ^

∇ f 1,1 , 1 = 29

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