Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 24
14.24. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e sentido em que isso ocorre.
Passo 1
A questão pede a direção e sentido de variação máxima da função, o que significa que precisamos encontrar um vetor. O vetor que nos dá essas informações é o chamado vetor gradiente, dado pela definição
Como é possível ver pela sua definição, precisaremos calcular suas derivadas parciais para obter o vetor gradiente em um ponto arbitrário do gráfico.
Encontrado esse vetor em um ponto , basta substituirmos os valores por , e com isso vamos obter o vetor que iremos analisar para chegar ao resultado solicitado pela questão.
Passo 2
Mostrados os passos que iremos seguir para resolver a questão, basta calcularmos inicialmente as derivadas parciais.
Com isso temos a expressão para o vetor gradiente em um ponto arbitrário
Passo 3
Definido o vetor gradiente em um ponto arbitrário, basta substituir no pontos por solicitado na questão
Com esse resultado conseguimos encontrar tanto a direção quanto o sentido de maior variação da função no ponto solicitado.
Passo 4
Como encontramos o vetor gradiente, a taxa de variação máxima é dada pelo seu módulo que é calculado como
Realizando essa operação para o operador gradiente obtemos