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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 14.6 - Ex. 24

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f x ,   y ,   z = x + y z ,   1 ,   1 , - 1

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas direcionais, vamos lá!

A questão nos da uma função f x ,   y ,   z = x + y / z   e pede para encontrarmos o valor máximo de sua derivada direcional no ponto ( 1 ,   1 , - 1 ) !

Ok, e como encontramos isso?

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ,   c ) em uma direção u → unitária qualquer é dada por

D u f a ,   b ,   c = ∇ f a ,   b ,   c ⋅ u →

Onde ∇ f é o gradiente da função f ! Relembrando: O gradiente é o conjunto das derivadas parciais, nesse caso f x , f y e f z .

Mas e para encontrar o valor máximo e sua direção?

O valor máximo é simplesmente o módulo de ∇ f e ele ocorre na mesma direção de ∇ f !

Dessa forma, calculando o gradiente ∇ f nós já temos a resposta quase completa!

Passo 2

Buscamos

∇ f a ,   b ,   c = ( f x ,   f y ,   f z )

Dessa forma, para encontrar f x nós derivamos f em x considerando y e z constante

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x + y z

∂ f ∂ x = 1 z

Para f y temos

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x + y z

∂ f ∂ y = 1 z

E, por fim, encontrando f z

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x + y z

Ou ainda

∂ f ∂ z = ( x + y ) ∂   z - 1 ∂ z

f z = - ( x + y ) z ²

Passo 3

Temos então o gradiente

∇ f = 1 z , 1 z , - ( x + y ) z ²

Ou ainda, em função dos vetores unitários

∇ f = 1 z i + 1 z j - ( x + y ) z ² k

Substituindo o ponto

∇ f 1 ,   1 , - 1 = 1 - 1 i + 1 - 1 j - ( 1 + 1 ) ( - 1 ) ² k

∇ f 1 ,   1 , - 1 = - 1 i - 1 j - 2 k

Que é a direção em que a taxa de variação ocorre! Além disso, tirando o módulo para encontrar o valor máximo, temos

∇ f 1 ,   1 , - 1 = ( - 1 ) ² + ( - 1 ) ² + ( - 2 ) ²

∇ f 1 ,   1 , - 1 = 6

Resposta

∇ f 1 ,   1 , - 1 = - 1 i - 1 j - 2 k

∇ f 1 ,   1 , - 1 = 6

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