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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 29

Encontre todos os pontos em que a mudança de direção mais rápida da função f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 4 y é i + j .

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa daqui.

Aqui a gente quer encontrar todos os pontos na função:

f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 4 y

Em que a mudança de direção mais rápida compreende a direção:

i + j

Para encontrar os pontos desejados, vamos calcular o gradiente da função dada e, em seguida, equipará-lo com qualquer um dos vetores que têm a mesma direção que o dado, e resolver para encontrar os pontos.

A derivada direcional é dada por:

D u f =   ∇ f x , y ⋅ cos ⁡ θ

Quando cos ⁡ θ for mínimo, o decrescimento ocorrerá mais rapidamente. Sendo assim iremos atras disso.

Passo 2

Assim, como a gente quer o menor cos ⁡ θ :

D u f =   ∇ f x , y ⋅ - 1

D u f =   - ∇ f

Como podemos ver, para cos ⁡ θ = - 1 temos θ = π , que representa u (vetor unitário) na direção oposta.

Agora vamos calcular o gradiente da função:

f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 4 y

Vamos de derivada parcial em relação a x :

f x = 2 x - 2

Vamos agora em relação a y :

f y = 2 y - 4

Temos então que o nosso gradiente é:

∇ f x , y =   f x , f y

∇ f x , y =   2 x - 2,2 y - 4

É isso:

∇ f x , y = 2 x - 2 i + 2 y - 4 j

Passo 3

Nós necessitamos de todos os pontos ( x , y ) , em que ∇ f x , y é paralelo a i + j , logo

2 x - 2 i + 2 y - 4 j = k i + j

Em que k é uma constante qualquer, para que tenhamos a igualdade acima, deveremos ter:

k = 2 x - 2

k = 2 y - 4

Igualando ambos os k :

2 x - 2 = 2 y - 4

y = x + 1

Logo, a direção de mudança mais rápida é i + j e todos os pontos estão na reta y = x + 1 .

Resposta

A direção de mudança mais rápida é i + j e todos os pontos estão na reta y = x + 1 .

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