Calcule a integral de superfície.

é a fronteira da região delimitada pelo cilindro e pelos planos e .

O primeiro passo é parametrizar a superfície. Para equação do cilindro:

Como está em função de e , podemos parametrizar da seguinte forma:

Já para a coordenada , temos que

Note que está limitado entre e , já que está limitado pelos planos e . Então nossos limites são:

Agora temos que calcular os vetores e :

• : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

Integrando cada uma dessas funções em relação a :

• : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

Integrando cada uma dessas funções em relação a , tratando como constante:

Agora fazemos o produto vetorial de por :

Para cada componente e , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Então:

Agora, tiramos o determinante de cada uma dessas matrizes:

Agora, podemos obter o módulo do nosso vetor acima:

Assim,

Agora podemos montar nossa integral:

Substituindo o módulo que achamos acima:

Nossa função

parametrizada fica:

Então, nossa integral é:

Fazendo a integral em , que é a integral de dentro, tratando como constante:

Aplicando os limites de integração:

Vamos multiplicar os termos na integral:

Vamos separar em três integrais:

Tanto a primeira integral como a terceira são nulas, pois são potências ímpares da função cosseno que integrada sobre um período se anula! Assim, resta apenas a integral do meio:

Lembrando da identidade trigonométrica:

Substituindo e integrando, chegamos em:

Assim, aplicando os limites de integração: