Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 23

Determine os valores extremos de na região descrita pela desigualdade.

Passo 1

Oii, tudo bem?? Bom... o enunciado nos deu essa funçãozinha:

Queremos determinar os valores extremos da função sujeita a seguinte desigualdade:

A gente pode transformar essa expressão em uma função passando todo mundo para um lado da igualdade (já já você vai entender hehe):

Para determinarmos os valores, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!

Mas que método é esse???

Então... para determinar os valores máximo e mínimo de sujeitos à restrição (supondo que esses valores extremos existam e que sobre a superfície ), então:

Esse é o nosso multiplicador de Lagrange!!!

Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de (ou seja, ) e depois os de (ou seja, ).

Em seguida, iremos calcular o valor de utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição encontraremos os valores de máximo e mínimo!!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!

Primeiro vamos para a função :

Para calcular o gradiente , basta aplicarmos as derivadas parciais!!

Derivando em relação a , aplicando a regra da cadeia em conjunto com a regra da exponencial, temos:

De forma análoga, derivando em relação a :

Assim, nosso gradiente é:

Perceba que, como exponencial nunca vale , temos que, igualando ambas as expressões a zero, obteremos:

Assim, o ponto crítico é , com:

Passo 3

Agora vamos para a função :

Derivando com relação a , aplicando a regra da potência, obtemos:

Derivando em relação a de forma análoga:

Assim, nosso gradiente é:

Passo 4

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um que satisfaça a equação.

Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:

Daí, vamos tirar que:

Vamos analisar isso mais a fundo?? 😉

Passo 5

Isolando da primeira expressão, obtemos:

Aplicando isso na segunda expressão, teremos:

Aplicando esse valor em , obtemos:

E, substituindo esse valor em para encontrarmos o valor de , teremos:

Com isso, teremos esses pontos críticos:

Pronto, agora vamos aplicar todos esses pontos críticos em para encontrar os valores de máximo e mínimo!!! 😉

Passo 6

Para o ponto , vimos que:

Para o ponto , temos:

Assim, ao comparar os valores, podemos concluir que teremos ponto de máximo em:

E ponto de mínimo em:

Resposta

Ponto de máximo em: