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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 23

Determine os valores extremos de f na região descrita pela desigualdade.

f x , y = e - x y

x 2 + 4 y 2 ≤ 1

Passo 1

Oii, tudo bem?? Bom... o enunciado nos deu essa funçãozinha:

f x , y = e - x y

Queremos determinar os valores extremos da função sujeita a seguinte desigualdade:

x 2 + 4 y 2 ≤ 1

A gente pode transformar essa expressão em uma função g passando todo mundo para um lado da igualdade (já já você vai entender hehe):

g x , y = x 2 + 4 y 2 - 1

Para determinarmos os valores, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!

Mas que método é esse???

Então... para determinar os valores máximo e mínimo de f x , y sujeitos à restrição g x , y = k (supondo que esses valores extremos existam e que ∇ g ≠ 0 sobre a superfície g x , y = k ), então:

∇ f x , y = λ ⋅ ∇ g x , y

Esse λ é o nosso multiplicador de Lagrange!!!

Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de f (ou seja, ∇ f ) e depois os de g (ou seja, ∇ g ).

Em seguida, iremos calcular o valor de λ utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição g encontraremos os valores de máximo e mínimo!!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!

Primeiro vamos para a função f :

f x , y = e - x y

Para calcular o gradiente ∇ f , basta aplicarmos as derivadas parciais!!

Derivando em relação a x , aplicando a regra da cadeia em conjunto com a regra da exponencial, temos:

f x = ∂ ∂ x   e - x y ∴

f x = - y e - x y

De forma análoga, derivando em relação a y :

f y = ∂ ∂ y e - x y ∴

f y = - x e - x y

Assim, nosso gradiente é:

∇ f = - y e - x y ,   - x e - x y

Perceba que, como exponencial nunca vale 0 , temos que, igualando ambas as expressões a zero, obteremos:

e - x y = 0 ∴

x = y = 0

Assim, o ponto crítico é 0,0 , com:

f 0,0 = e - 0 ⋅ 0 ∴

f 0,0 = 1

Passo 3

Agora vamos para a função g :

g x , y = x 2 + 4 y 2 - 1

Derivando com relação a x , aplicando a regra da potência, obtemos:

g x = ∂ ∂ x   x 2 + 4 y 2 - 1 ∴

g x = 2 x

Derivando em relação a y de forma análoga:

g y = ∂ ∂ y   x 2 + 4 y 2 - 1 ∴

g y = 8 y

Assim, nosso gradiente é:

∇ g = 2 x , 8 y

Passo 4

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um λ que satisfaça a equação.

Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:

∇ f x , y = λ ⋅ ∇ g x , y ∴

- y e - x y ,   - x e - x y = λ ⋅ 2 x , 8 y

Daí, vamos tirar que:

- y e - x y = λ ⋅ 2 x - x e - x y = λ ⋅ 8 y

Vamos analisar isso mais a fundo?? 😉

Passo 5

Isolando e - x y da primeira expressão, obtemos:

e - x y = - 2 λ x y

Aplicando isso na segunda expressão, teremos:

- x - 2 λ x y = λ ⋅ 8 y ∴

x 2 = 4 y 2

Aplicando esse valor em g , obtemos:

4 y 2 + 4 y 2 = 1 ∴

y 2 = 1 8 ∴

y = ± 1 2 2

E, substituindo esse valor em g para encontrarmos o valor de x , teremos:

x 2 + 4 1 8 = 1 ∴

x = ± 1 2

Com isso, teremos esses pontos críticos:

± 1 2 , ± 1 2 2

E

± 1 2 , ∓ 1 2 2

Pronto, agora vamos aplicar todos esses pontos críticos em f para encontrar os valores de máximo e mínimo!!! 😉

Passo 6

Para o ponto 0,0 , vimos que:

f 0,0 = 1

Para o ponto ± 1 2 , ± 1 2 2 , temos:

f x , y = e - x y ∴

f ± 1 2 , ± 1 2 2 = e - ± 1 2 ⋅ ± 1 2 2 ∴

f ± 1 2 , ± 1 2 2 = e - 1 4 ∴

f ± 1 2 , ± 1 2 2 ≈ 0,779

Para o ponto ± 1 2 , ± 1 2 2 , temos:

f ± 1 2 , ∓ 1 2 2 = e - ± 1 2 ⋅ ∓ 1 2 2 ∴

f ± 1 2 , ∓ 1 2 2 = e 1 4 ∴

f ± 1 2 , ∓ 1 2 2 ≈ 1,284

Assim, ao comparar os valores, podemos concluir que teremos ponto de máximo em:

f ± 1 2 , ∓ 1 2 2 ≈ 1,284

E ponto de mínimo em:

f ± 1 2 , ± 1 2 2 ≈ 0,779

Resposta

Ponto de máximo em:

f ± 1 2 , ∓ 1 2 2 ≈ 1,284

E ponto de mínimo em:

f ± 1 2 , ± 1 2 2 ≈ 0,779

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