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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 12

14.12. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o ponto de vista que mostre os aspectos importantes da função.

f x , y = x y 1 - x - y

Passo 1

A gente tem que determinar os pontos extremos da nossa função, e depois ver se são pontos de mínimo, de máximo ou um ponto de sela.

Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.

Vamos começar determinando nossas derivadas

f x , y = x y 1 - x - y

f x , y = x y - x 2 y - y 2 x

Vamos derivar primeiro em relação à x

f x = y - 2 x y - y 2

E agora em relação a y

f y = x - 2 x y - x 2

Passo 2

Beleza, agora a gente já tem nossas derivadas, os pontos interessantes vão acontecer quando elas forem iguais à 0. Então

f x = y - 2 x y - y 2 = 0

f y = x - 2 x y - x 2 = 0

Um resultado imediato que a gente pode ver é igualar as variáveis a 0, quero dizer

f x ( x , 0 ) = 0 - 2 x ( 0 ) - 0 2 = 0

Então sabemos que y = 0 , vamos achar o x substituindo na outra equação

x - 2 x 0 - x 2 = 0

Então

x - x 2 = 0

x = x 2

Aqui x pode ser 0.

A gente pode dividir a equação por x se x ≠ 0

1 = x

Então temos os pontos: 0 ,   0   e   ( 1 ,   0 )

Usando o mesmo raciocínio, podemos dizer que x = 0

f y = 0 - 2 ( 0 ) y - 0 2 = 0

Substituindo na outra equação

y - 2 0 y - y 2 = 0

Então

y - y 2 = 0

E como no caso anterior temos y = 0 e y = 1 .

Então temos os pontos 0 ,   0 ,   1 ,   0   e   0 ,   1

Ainda temos mais um caso, onde a gente pode fazer

f x = y - 2 x y - y 2 = 0

Isolando y

y 1 - 2 x - y = 0

A gente divide a equação por y

1 - 2 x - y = 0

Então

y = 1 - 2 x

Substituindo na outra equação

f y = x - 2 x 1 - 2 x - x 2 = 0

x - 2 x + 4 x 2 - x 2 = 0

3 x 2 - x = 0

3 x 2 = x

Isso nos dá x = 0 , mas se dividirmos a equação por x

3 x = 1

x = 1 3

Agora para achar y

y = 1 - 2 1 3 = 1 - 2 3 = 1 3

Então temos os pontos 0 ,   0 ,   1 ,   0   ,   0 ,   1   e   1 3 , 1 3

Passo 3

Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar

D x , y = f x x ⋅ f x y - f x y 2

Podem ocorrer três casos:

  1. D ( a , b ) > 0   e   f x x a , b > 0 então f ( a , b ) é um mínimo local.
  2. D a , b > 0   e   f x x a , b < 0 então f ( a , b ) é um máximo local.
  3. D a , b < 0   então f ( a , b ) não é nem mínimo e nem máximo local.

Vamos calcular as segundas derivadas então

f x x = ∂ f x ∂ x

f x = y - 2 x y - y 2

Só o termo - 2 x y depende de x , então

f x x = ∂ - 2 x y ∂ x = - 2 y

A outra derivada que precisamos é

f y y = ∂ f y ∂ y

f y = x - 2 x y - x 2

Só o termo - 2 x y depende de y , então

f y y = ∂ - 2 x y ∂ y = - 2 x

E a última derivada que precisamos é

f x y = ∂ f x ∂ y

ou f x y = ∂ f y ∂ x

f x = y - 2 x y - y 2

Vamos derivar isso em relação a y

f x y = ∂ y - 2 x y - y 2 ∂ x = 1 - 2 x - 2 y

Então

D x , y = - 2 y ⋅ - 2 x - 1 - 2 x - 2 y 2

Isso é igual

D x , y = 4 - x y + y y - y 2 + x - x 2 - 1

Passo 4

Vamos testar para o ponto 0,0

D 0,0 = 4 0 + 0 - 0 + 0 - 0 - 1

D 0,0 = - 1

Então

D 0,0 < 0

Logo é um ponto de sela.

Agora o ponto 1 ,   0

D 1 ,   0 = 4 - ( 1 ) ( 0 ) + 0 - 0 + ( 1 ) - 1 2 - 1

D 1 ,   0 = - 1

Então

D 1 ,   0 < 0

Esse ponto é de sela.

Agora o ponto 0 ,   1

D 0 ,   1 = 4 - 0 1 + 1 - 1 2 + 0 - 0 - 1

D 0 ,   1 = - 1

Então

D 0 ,   1 < 0

Esse ponto é de sela.

E por último o ponto 1 3 , 1 3

D 1 3 , 1 3 = 4 - 1 3 1 3 + 1 3 - 1 3 2 + 1 3 - 1 3 2 - 1

D 1 3 , 1 3 = 4 - 1 9 + 1 3 - 1 9 + 1 3 - 1 9 - 1

D 1 3 , 1 3 = 4 2 3 - 3 9 - 1

D 1 3 , 1 3 = 4 1 3 - 1 = 1 3

Então

D 1 3 , 1 3 > 0

Então temos que verificar f x x

f x x 1 3 , 1 3 = - 2 1 3 = - 2 3

f x x 1 3 , 1 3 < 0

Então esse é um ponto de máximo.

Passo 5

Agora só falta fazer o gráfico.

Resposta

0,0 -Ponto de Sela

( 0,1 ) -Ponto de Sela

1,0 -Ponto de Sela

( 1 3 . 1 3 ) -Ponto de Máximo

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