Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 47
Encontre o volume da caixa retangular mais larga no primeiro octante com três faces no plano coordenado e um vértice no plano .
Passo 1
Oie, vou te ajudar a resolver essa questão meu amigo.
Ela é um pouco complicada, um pouco confusa, mas iremos resolver juntos.
A gente quer o volume máximo de uma caixa retangular, e ela precisa estar no primeiro octante,
Precisamos também que faces dessa caixa esteja no plano coordenado, e precisamos de um vértice no plano:
Precisaremos então maximizar a função:
Do volume, iremos fazer isso com o teste da segunda derivada:
Com isso, a gente analisa as seguintes proposições:
- Se e , então é um mínimo local;
- Se e , então é um máximo local;
- Se , não é nem máximo e nem mínimo local.
Precisaremos então transformar nossa função do volume para variáveis, precisaremos também encontrar os pontos críticos, e depois iremos para o teste da segunda derivada.
Passo 2
Veja que temos que:
E podemos reescrever como:
Então nossa função do volume será:
Vamos então encontrar as derivadas parciais para que possamos encontrar os pontos críticos:
E temos:
Passo 3
Agora iremos encontrar os zeros e consequentemente os pontos críticos:
Primeiro vamos colocar em evidencia:
Assim:
Veja que não podemos ter um lado igual a zero:
Agora vamos para:
Temos então:
Simplificando:
Substituindo esse por
Temos:
Então teremos:
Como não podemos ter lado igual a zero:
E
Que é o nosso ponto crítico.
Passo 4
Precisamos agora calcular as segundas derivadas:
E
E por último:
Agora calculando o valor dessas derivadas com o ponto critico:
E por ultimo:
Agora calculando :
Como , temos um máximo local em .
Agora iremos substituir esse ponto e encontrar o valor do volume máximo:
E temos que: