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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 5

14.5. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e a direção e sentido indicada pelo ângulo θ

f x , y = 5 x - 4 y   ,     4 ,   1 ,     θ = - π 6

Passo 1

A questão pede para encontrarmos a derivada direcional em uma direção especificada, e para isso é preciso relembrar da definição de uma derivada direcional:

D u f x , y = ∇ → f ( x , y ) ⋅   n ^

Em que ∇ f representa o gradiente da função dado por

∇ → f ( x , y ) = ∂ f ( x , y ) ∂ x , ∂ f ( x , y ) ∂ y

E n ^ é um vetor unitário que faz um ângulo de θ = - π / 6 com o eixo x .

Para resolver o exercício é necessário dos seguintes passos: calcular as derivadas parciais da função para obter o vetor gradiente, calcular o vetor unitário, determinar a derivada direcional em um ponto arbitrário e com isso substituir x , y → ( 4,1 ) para assim resolver o problema.

Passo 2

Agora que sabemos o que precisamos fazer para resolver, vamos inicialmente encontrar as derivadas parciais da função.

Começando pela derivada em relação a x

∂ f ∂ x = f x = ∂ ∂ x 5 x - 4 y

f x = 1 2 5 x - 4 y ⋅ ∂ ∂ x 5 x - 4 y = 1 2 5 5 x - 4 y

Agora derivando em relação a y

∂ f ∂ x = f y = ∂ ∂ y 5 x - 4 y

f y = 1 2 5 x - 4 y ⋅ ∂ ∂ y 5 x - 4 y = - 2 5 x - 4 y

Obtidas as duas derivadas, obtemos o vetor gradiente

∇ f x , y = 1 2 5 5 x - 4 y , - 2 5 x - 4 y

∇ f x , y = 1 2 5 5 x - 4 y x ^ - 2 5 x - 4 y y ^

Passo 3

Calculado o vetor gradiente, precisamos escrever o vetor unitário para que possamos realizar o cálculo da definição de derivada direcional.

Sabemos pelo exercício que o ângulo com o eixo x é dado por θ = - π / 6 , então o vetor pode ser escrito como

n ^ = cos ⁡ - π 6 x ^ + sin ⁡ - π 6 y ^ = 3 2 x ^ + - 1 2 y ^  

Passo 4

Voltando à expressão de derivada direcional, podemos reescrevê-la como

D u f x , y = ∇ → f ( x , y ) ⋅   n ^ = f x ⋅ cos ⁡ θ + f y ⋅ sin ⁡ θ

Utilizando os resultados obtidos nos passos anteriores, a derivada direcional da função em um ponto arbitrário é dada por

D u f x , y = 1 2 5 5 x - 4 y     ⋅ 3 2 + - 2 5 x - 4 y ⋅ - 1 2

Considerando agora o ponto ( 4,1 ) , basta substituir os valores na expressão

D u f 4,1 = 1 2 5 5 ( 4 ) - 4 ( 1 )     ⋅ 3 2 + - 2 5 4 - 4 1 ⋅ - 1 2

Resolvendo essa expressão, é possível obter

D u f 4,1 = 5 8     ⋅ 3 2 + - 1 2 - 1 2 = 5 3 16 + 1 4

Resposta

D u f 4,1 = 5 3 16 + 1 4

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