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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 22

Seja f x , y diferenciável no aberto A de R 2 e sejam γ ( t ) e δ ( t ) duas curvas definidas e diferenciáveis num intervalo aberto I e com imagens em A . Suponha γ t 0 = δ ( t 0 ) , γ ' t 0 = 1 , δ ' t 0 = 1 , ∇ f γ t 0 ≠ 0 → e γ ' t 0 o versor de ∇ f γ t 0 . Suponha ainda que γ ' ( t 0 ) não seja paralelo a δ ' ( t 0 ) . Prove que existe r > 0 tal que

f γ t > f δ t           p a r a         t 0 < t < t 0 + r

e

f γ t < f δ t           p a r a         t 0 - r < t < t 0

Passo 1

O problema fala de uma função derivável de duas variáveis f definida em um aberto A e cita duas curvas γ ( t ) e δ ( t ) que se cruzam no ponto γ t 0 = δ ( t 0 ) . Além disso, nesse ponto, a norma do vetor tangente a essas curvas é 1 , isto é, o vetor tangente é unitário para t = t 0 .

A questão ainda diz que γ ' t 0 é o versor de ∇ f γ t 0 . Isso significa que no ponto ( x 0 , y 0 ) , o sentido de maior crescimento de f é dado pela curva γ ( t ) .

Queremos provar que para t um pouco maior que t 0 , o valor de f sobre γ é maior que sobre δ , e o contrário ocorre para t um pouco menor que t 0 . Para isso, vamos usar a derivada de uma função de duas variáveis restrita a uma curva é dada por

d d t f γ t = ∇ f γ t ⋅ γ ' t

Passo 2

Para simplificar um pouco a resolução, vamos definir duas novas funções:

g t = f γ t             e             h t = f δ t

O queremos mostrar é que existe r > 0 tal que, no intervalo [ t 0 ,   t 0 + r ] tenhamos g t > h ( t ) , enquanto no intervalo t 0 - r , t 0 ocorra o contrário: g t < h ( t ) .

Para isso, vamos calcular g ' ( t 0 ) e h ' ( t 0 ) :

g ' t 0 = ∇ f γ t 0 ⋅ γ ' t 0

h ' t 0 = ∇ f δ t 0 ⋅ δ ' t 0

Como γ t 0 = δ ( t 0 ) :

g ' t 0 = ∇ f γ t 0 ⋅ γ ' t 0

h ' t 0 = ∇ f γ t 0 ⋅ δ ' t 0

Note que h ' ( t 0 ) e g ' ( t 0 ) só diferem pelo vetor tangente no produto escalar. Para simplificar a notação, vamos chamar ∇ f γ t 0 = A . Podemos reescrever então:

g ' t 0 = A

h ' t 0 = A cos ⁡ θ

Vou justificar de onde eu tirei isso: sabemos que γ ' ( t 0 ) aponta na direção de ∇ f γ t 0 . Assim, quando tomamos o produto escalar, basta multiplicar as normas:

∇ f γ t 0 ⋅ γ ' t 0 = ∇ f γ t 0 ⋅ γ ' t 0 = ∇ f γ t 0 = A

Por outro lado, sabemos que γ ' ( t 0 ) e δ ' t 0 não são paralelos. Chamando de θ o ângulo entre eles e como ∇ f γ t 0 é paralelo a γ ' t 0 , tiramos que

∇ f γ t 0 ⋅ δ ' t 0 = ∇ f γ t 0 ⋅ δ ' t 0 cos ⁡ θ = ∇ f γ t 0 cos ⁡ θ = A cos ⁡ θ

Vemos então que

h ' t 0 < g ' ( t 0 )

Passo 3

Vamos definir agora uma nova função:

F t = g t - h t

Note que como g t 0 = h ( t 0 ) , temos que

F t 0 = 0

Assim,

F ' t = g ' t - h ' t

Em particular,

F ' t 0 = g ' t 0 - h ' t 0 > 0

Temos duas informações importantes sobre F : F ' t 0 > 0 e F t 0 = 0 . Como F é contínua e crescente e se anula para t = t 0 , para t + um pouquinho maior que t 0 ela deve crescer, de modo que F t + > 0 . Analogamente, para um t - um pouquinho menor que t 0 ela deve diminuir, de modo que F t - < 0 .

Usando notação matemática mais formal, temos que existe r > 0 tal que F t > 0 para t 0 < t < t 0 + r e que F t < 0 para t 0 - r < t < t 0 .

Por fim, basta ver que

F t > 0 ⟺ g t > h t

F t < 0 ⟺ g t < h t

Como g t = f γ t e h t = f δ t , concluímos a demonstração do teorema.

Resposta

Demonstração.

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