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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 21

Seja f (x , y) = (x^3)/(x^2 + y^2) se (x , y) != ( 0,0 ) e f (0,0) = 0 . Mostre que

(del f)/(del vec u) (0,0) != grad f (0,0) * vec u ,

onde vec u = ((1)/(sqrt(2)) , (1)/(sqrt(2))) . Explique.

Passo 1

Aqui temos uma função definida por partes: para (x , y) != ( 0,0 ) , ela vale

f (x , y) = (x^3)/(x^2 + y^2)

Já para (x , y) = ( 0,0 ) , temos f (0,0) = 0 . Queremos mostrar que, neste caso, a derivada direcional em ( 0,0 ) não é dada pelo produto escalar do gradiente pelo versor da direção. Para isso, temos que calcular a derivada direcional na raça:

(del f)/(del vec u) (x_0 , y_0) = underset(t -> 0)(lim) (f (x_0 + a t , y_0 + b t) - f (x_0 , y_0))/(t) ,

onde vec u = ( a , b ) . Neste caso, com a = b = 1 // sqrt(2) , temos que

(del f)/(del vec u) (0,0) = underset(t -> 0)(lim) (f ((t)/(sqrt(2)) , (t)/(sqrt(2))) - f (0,0))/(t) = underset(t -> 0)(lim) (((t // sqrt(2))^3)/(t^2 // 2 + t^2 // 2) - 0)/(t) = underset(t -> 0)(lim) ((t^3 // 2 sqrt(2))/(t^2))/(t) = underset(t -> 0)(lim) (1)/(2 sqrt(2))

(del f)/(del vec u) (0,0) = (1)/(2 sqrt(2))

Passo 2

Agora vamos calcular o gradiente grad f ( 0,0 ) . Para isso, vamos achar as derivadas parciais.

IMPORTANTE: como f é definida por partes e o ponto de colagem é justamente ( 0,0 ) , você não pode usar as regras de derivação aqui. Temos que calcular as derivadas parciais na raça também:

(del f)/(del x) (x_0 , y_0) = underset(h -> 0)(lim) (f (x_0 + h , y_0) - f ( x_0 , y_0 ))/(h)

(del f)/(del y) (x_0 , y_0) = underset(h -> 0)(lim) (f (x_0 , y_0 + h) - f ( x_0 , y_0 ))/(h)

Assim, como f (0,0) = 0 :

(del f)/(del x) (0,0) = underset(h -> 0)(lim) (f ( h , 0 ))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (h)/(h) = 1

(del f)/(del y) (0,0) = underset(h -> 0)(lim) (f ( 0 , h ))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (0)/(h) = 0

Portanto,

grad f (0,0) = ( 1 , 0 )

Passo 3

Assim, podemos fazer

grad f (0,0) * vec u = (1 , 0) * (1)/(sqrt(2)) (1 , 1) = (1)/(sqrt(2))

Mas vimos que

(del f)/(del vec u) (0,0) = (1)/(2 sqrt(2))

Portanto

(del f)/(del vec u) (0,0) != grad f (0,0) * vec u

Eu sei que você deve estar se perguntando: mas essa não era a fórmula da derivada direcional? Como ela não funciona aqui?

O problema reside aqui: só podemos usar essa fórmula com o produto escalar de gradiente se f for diferenciável (vai lá olhar o enunciado do teorema 1 no começo da seção). Neste caso, f não é diferenciável na origem, por isso a fórmula não vale nesse ponto. Para qualquer outro ponto ela vai valer, mas nesse não...

Resposta

Demonstração.

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