Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

x^4 + y^4 + z^4 = 2 * x^2 * y^2 * z^2, (1, 1, 1)

Passo 1

Faaala galera! Tudo certo?

Nessa questão nós temos a superfície

x 4 + y 4 + z 4 = 2 x 2 y 2 z 2

e queremos obter a equação do plano tangente a ela no ponto ( 1,1 , 1 ) , bem como a reta tangente nesse mesmo ponto.

Para isso, vamos interpretar a superfície dada com uma superfície de nível 0 da função, ou seja, se tivermos uma função

f x , y , z = x 4 + y 4 + z 4 - 2 x 2 y 2 z 2

a nossa superfície é a superfície de nível tal que f x , y , z = 0 , beleza?

Além disso, nós sabemos que o vetor gradiente de uma função é perpendicular às suas curvas ou superfícies de nível, logo, o vetor normal à superfície será o seu gradiente, dado por

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Dada uma superfície, o plano tangente a ela no ponto x 0 , y 0 , z 0 é dado por

∂ f ∂ x x 0 , y 0 , z 0 ⋅ x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z 0 ⋅ y - y 0 + ∂ f ∂ z x 0 , y 0 , z 0 ⋅ z - z 0 = 0

Portanto, precisamos calcular o gradiente no ponto 1,1 , 1 e depois aplicar na equação acima.

Passo 2

Como determinamos a reta normal à superfície no ponto dado?

Ora, sabemos que o gradiente será perpendicular à superfície nesse ponto, então ele dará a direção normal à superfície.

Dessa forma, a reta que passa por esse ponto e é normal à superfície será paralela ao vetor gradiente. Assim, qualquer ponto da reta é obtido se fizermos a multiplicação de ∇ f x 0 , y 0 , z 0   por um número real, pois estaremos esticando ou comprimindo esse vetor.

Matemáticamente, a reta será dada por:

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + t ⋅ ∇ f ( x 0 , y 0 , z 0 )

Dito isso, vamos às contas...

Passo 3

Como falamos, o vetor normal ao plano será o gradiente dessa função:

f x , y , z = x 4 + y 4 + z 4 - 2 x 2 y 2 z 2

e

∇ f x , y , z = ( 4 x 3 - 4 x y 2 z 2 , 4 y 3 - 4 x 2 y z 2 ,   4 z 3 - 4 x 2 y 2 z )

Usando x ,   y ,   z = ( 1 ,   1 ,   1 ) :

∇ f ( 1,1 , 1 ) = ( 0 ,   0 ,   0 )

Como o gradiente é nulo, não faz sentido falar de plano tangente ou reta normal nesse problema...

Resposta

Não tem plano tangente nem reta normal.

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