Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 46
Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
Passo 1
Faaala galera! Tudo certo?
Nessa questão nós temos a superfície
e queremos obter a equação do plano tangente a ela no ponto , bem como a reta tangente nesse mesmo ponto.
Para isso, vamos interpretar a superfície dada com uma superfície de nível da função, ou seja, se tivermos uma função
a nossa superfície é a superfície de nível tal que , beleza?
Além disso, nós sabemos que o vetor gradiente de uma função é perpendicular às suas curvas ou superfícies de nível, logo, o vetor normal à superfície será o seu gradiente, dado por
Dada uma superfície, o plano tangente a ela no ponto é dado por
Portanto, precisamos calcular o gradiente no ponto e depois aplicar na equação acima.
Passo 2
Como determinamos a reta normal à superfície no ponto dado?
Ora, sabemos que o gradiente será perpendicular à superfície nesse ponto, então ele dará a direção normal à superfície.
Dessa forma, a reta que passa por esse ponto e é normal à superfície será paralela ao vetor gradiente. Assim, qualquer ponto da reta é obtido se fizermos a multiplicação de por um número real, pois estaremos esticando ou comprimindo esse vetor.
Matemáticamente, a reta será dada por:
Dito isso, vamos às contas...
Passo 3
Como falamos, o vetor normal ao plano será o gradiente dessa função:
e
Usando :
Como o gradiente é nulo, não faz sentido falar de plano tangente ou reta normal nesse problema...
Resposta
Não tem plano tangente nem reta normal.