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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 51

Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L, qual é o maior volume possível?

Passo 1

Fala ai pessoa. De boa? Se liga nessa questão de demonstração!

O objetivo é determinar o maior volume possível para uma caixa retangular cuja diagonal tenha um comprimento fixo L .

Para resolver essa questão, podemos seguir os seguintes passos:

  1. Entender as variáveis e verificar a relação entre os lados e a diagonal da caixa.
  2. Utilizar a expressão do volume.

    3. V = x ∙ y ∙ z

  3. Verificar os pontos máximos, para isso precisamos calcular a derivada em relação a x e y .
  4. Igualadas as derivadas a zero, para encontrar o valor de x e y .
  5. Substituir os valores na equação do volume.

Vamos começara trabalhar!

Passo 2

Então sabemos que o volume da caixa é dado por

V = x y z

Então

L = x 2 + y 2 + z 2

Mas queremos maximizar as variáveis x , y e z então vamos maximizar

f x , y = x y z

Mas não podemos ter z em f x , y então vamos colocar z como uma função de x e y

L 2 = x 2 + y 2 + z 2

Então

z = L 2 - x 2 - y 2  

Então vamos maximizar

f x , y = x y L 2 - x 2 - y 2

Passo 3

A gente tem que achar os pontos de máximo nessa função.

Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.

Vamos começar determinando nossas derivadas

f x , y = x y L 2 - x 2 - y 2

Vamos derivar primeiro em relação à x . Para isso vamos usar a regra do produto. . A regra do produto é a seguinte:

f x = h ' ⋅ g + h ⋅ g '

Para ficar mais fácil vamos fazer o seguinte

f x = y ⋅ ∂ x L 2 - x 2 - y 2 ∂ x

Vamos fazer

h = x

Então

h ' = 1

E

g = L 2 - x 2 - y 2

Então

g ' = - x L 2 - x 2 - y 2    

Agora a gente pode fazer a derivada

f x = y L 2 - x 2 - y 2 - x x L 2 - x 2 - y 2

Simplificando

f x = y L 2 - x 2 - y 2 - y x 2 L 2 - x 2 - y 2

f x = y - 2 x 2 + L 2 - y 2 L 2 - x 2 - y 2

Passo 4

Agora a gente faz a derivada em relação a y , e vamos usar a mesma estratégia, regra do produto

f y = h ' ⋅ g + h ⋅ g '

f y = x ⋅ ∂ y L 2 - x 2 - y 2 ∂ y

Aplicando a Regra da cadeia. Considerando.

h = y

h ' = 1

g = L 2 - x 2 - y 2

g ' = - y L 2 - x 2 - y 2

Logo

f y = y L 2 - x 2 - y 2 - y y L 2 - x 2 - y 2

Simplificando

f y = y L 2 - x 2 - y 2 - y x 2 L 2 - x 2 - y 2

f y = y - 2 x 2 + L 2 - y 2 L 2 - x 2 - y 2

Passo 5

Agora vamos igualar as derivadas à 0.

f x = y L 2 - x 2 - y 2 - x x L 2 - x 2 - y 2 = 0

f y = y L 2 - x 2 - y 2 - y y L 2 - x 2 - y 2 = 0

De f x podemos tirar que

y L 2 - x 2 - y 2 - x x L 2 - x 2 - y 2 = 0

Separando só termos na igualdade

L 2 - x 2 - y 2 = x 2 L 2 - x 2 - y 2

L 2 - x 2 - y 2 ∙ L 2 - x 2 - y 2 = x 2

L 2 - x 2 - y 2 2 = x 2

L 2 - x 2 - y 2 = x ²

Então

L 2 - x 2 - y 2 = x 2

L 2 - 2 x 2 - y 2 = 0

Logo

L 2 - 2 x 2 = y 2

Passo 6

Agora vamos fazer isso em f y , onde só precisamos que b 100 - x - y - c y = 0 , então

y L 2 - x 2 - y 2 - y y L 2 - x 2 - y 2 = 0

L 2 - x 2 - y 2 = y 2 L 2 - x 2 - y 2

Aplicando multiplicação cruzada

L 2 - x 2 - y 2 L 2 - x 2 - y 2 = y 2

L 2 - x 2 - y 2 2 = y ²

Então

L 2 - x 2 - y 2 = y 2

L 2 - 2 y 2 - x 2 = 0

Logo

L 2 = 2 y 2 + x 2

Passo 7

Temos que

L 2 - 2 x 2 = y 2

Podemos substituir essa equação em

L 2 = 2 y 2 + x 2

Teremos então

L 2 = 2 L 2 - 2 x 2 + x 2

Agora podemos achar x

L 2 = 2 L 2 - 4 x 2 + x 2

Então

3 x 2 = L 2

x = L 3

Passo 8

Agora vamos descobrir y

L 2 - 2 L 2 3 = y 2

L 2 - 2 3 L 2 = y 2

1 3 L 2 = y 2

Então

y = L 3

Passo 9

Agora nós temos o par de ponto ( x , y ) então podemos achar o ponto z

z = L 2 - x 2 - y 2

Substituindo os termos x e y .

z = L 2 - L 2 3 - L 2 3

z = L 2 3

z = L 3

Agora podemos achar o volume

V = x y z

V = L 3 3

V = L 3 3 3

Resposta

V = L 3 3 3

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