Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 30
14.30. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados
Exercício 42
Passo 1
Oie, amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.
A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício da seção . O enunciado é esse:
“Determine três números positivos , e cuja a soma é tal que seja máximo.”
Seguinte, a nossa restrição fica dessa forma:
Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer , mas ela é dada:
Então iremos fazer o produto:
Onde e são os gradientes dessas funções.
Passo 2
Vamos calcular o divergente:
Temos a nossa função:
Aqui a gente vai derivar em relação a considerando todas as outras variáveis como constantes:
Para as outras derivadas o processo é semelhante, teremos então nosso gradiente como:
E também precisamos do divergente de :
Repetindo o processo de derivação parcial:
Passo 3
Vamos começar fazendo a igualdade mostrada no passo :
Primeiro para as coordenadas :
Agora para as coordenadas :
E por último para as coordenadas :
Olha só, tudo é igual a , então vai acontecer o seguinte
A gente pode simplificar essa equação, dessa forma, vamos dividir por
Vamos usar essa mesma ideia, e dividir por e
Vamos pegar só as duas primeiras para determinar
A gente pode dividir por
Isolando
Agora vamos determinar
Só cortar o
Então
E a gente deixa como nossa variável livre.
Passo 4
Agora vamos usar a equação de restrição:
Substituindo:
Agora a gente consegue achar um valor para , vamos colocar o em evidencia
Vamos juntar tudo dentro dos parênteses em uma única fração
Agora é só passar para o outro lado
Agora podemos determinar as outras variáveis
A gente corta o
E agora
De novo é só cortar o
E esse é nosso ponto de máximo.