Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 31
14.31. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados
Exercício 43
Passo 1
Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.
A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício da seção . O enunciado é esse:
“Determine o volume da maior caixa retangular com arestas paralelas aos eixos e que pode ser inscrita no elipsoide ”
Seguinte, a nossa restrição fica dessa forma:
Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer , como estamos falando do volume de uma caixa retangular, com as arestas paralelas aos eixos, a função é a seguinte:
Então iremos fazer o produto:
Onde e são os gradientes dessas funções. A partir dai poderemos encontrar os pontos críticos e encontrar o volume máximo.
Passo 2
Vamos calcular o divergente:
O divergente é dado por:
A gente encontra a derivada parcial derivando em relação a uma variável, e considera todas as outras como constante:
E também precisamos do divergente de :
Repetindo o mesmo processo de derivadas parciais:
Passo 3
Vamos começar fazendo as igualdades que comentamos no primeiro passo:
Primeiro para :
Agora para :
E por último para :
Agora a gente deixa uma variável livre e coloca as outras variáveis em função da variável livre, por exemplo, eu vou deixar como uma variável livre e escrever em função de e em função de também.
Vamos pegar a equação (I)
E a equação (II)
E vamos fazer :
Agora vamos fazer essas divisões:
Então:
E agora vamos pegar a equação (III)
E fazer :
Fazendo essas divisões:
Então:
Passo 4
Agora vamos usar a equação de restrição
Substituindo os valores que encontramos:
Agora a gente consegue achar um valor para , vamos colocar o em evidencia
Então:
Logo:
Agora podemos determinar as outras variáveis
Então:
E agora:
Então:
Passo 5
Então agora podemos determinar o volume: