Seja R 1 ,R 2 , ⋯ ,R n ,⋯ uma sequência de retângulos em R 2 ,onde R n = x , y ∈ R 2a n ≤ x ≤ c n ,a n - ≤ y ≤ b n } , tais que R 1 ⊃ R 2 ⊃ ⋯ ⊃R n ⊃ ⋯ . Suponha que d n = | a n ,a n - - c n ,b n | tenda a zero quando n → ∞ . Nestas condições, prove que R 1 ∩ R 2 ∩ ⋯ ∩ R n ∩ ⋯ = ( x - , y - ) Onde x , - y - são os únicos reais tais que a n ≤ x - ≤ c n ,a n - ≤ y - ≤ b n

Enunciado

Para cada , escolhemos um ponto . A sequência é limitada, logo possui uma subsequência e que converge par

Mostremos que para todo . De fato, dado , temos que sempre que e . Assim, , . Segue-se que pertence ao retângulo par todo

Ei, a resposta está no passo a passo :)