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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.4 - Ex. 11

Seja R 1 ,   R 2 , ⋯ ,   R n ,   ⋯ uma sequência de retângulos em R 2 ,onde R n = x , y ∈ R 2   a n ≤ x ≤ c n ,   a n - ≤ y ≤ b n } , tais que R 1 ⊃ R 2 ⊃ ⋯ ⊃   R n ⊃ ⋯ . Suponha que d n = | a n ,   a n - - c n ,   b n | tenda a zero quando n → ∞ . Nestas condições, prove que

R 1 ∩ R 2 ∩ ⋯ ∩ R n ∩ ⋯ = ( x - , y - )

Onde x , - y - são os únicos reais tais que

  a n ≤ x - ≤ c n ,   a n - ≤ y - ≤ b n

Passo 1

Para cada k ∈ N , escolhemos um ponto x k ∈ R k . A sequência x k é limitada, logo possui uma subsequência x r r ∈ N ' e r > k que converge par a = lim r ∈ N ' ⁡ x r .  

Mostremos que a ∈ K k para todo k ∈ N . De fato, dado k , temos que K r ⊂ K k sempre que r ∈ N ' e r > k . Assim, r ∈ N ' , r > k   ⟹ x r ∈ K k . Segue-se que a = lim r ∈ N ' ⁡ x r pertence ao retângulo R k   par todo k .  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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