Seja R1, R2, ..., Rn, ... uma sequência de retângulos em ,onde R_n = { (x, y) ∈ R^2 | a_n ≤ x ≤ c_n, a_n' ≤ y ≤ b_n } , tais que R1 ⊃ R2 ⊃ ... ⊃ Rn ⊃ ... . Suponha que d_n = | | a_n, a_n - | - c_n, b_n | | tenda a zero quando n → infinito . Nestas condições, prove que

R1 ∩ R2 ∩ ... ∩ Rn ∩ ... = (x̄, ȳ)

Onde x - y são os únicos reais tais que

a_n ≤ x ≤ c_n, a_n - ≤ y - ≤ b_n

Passo 1

Para cada k ∈ N , escolhemos um ponto x k ∈ R k . A sequência x k é limitada, logo possui uma subsequência x r r ∈ N ' e r > k que converge par a = lim r ∈ N ' ⁡ x r .  

Mostremos que a ∈ K k para todo k ∈ N . De fato, dado k , temos que K r ⊂ K k sempre que r ∈ N ' e r > k . Assim, r ∈ N ' , r > k   ⟹ x r ∈ K k . Segue-se que a = lim r ∈ N ' ⁡ x r pertence ao retângulo R k   par todo k .  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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