Seja um subconjunto fechado do e seja contínua. Prove que f é limitada em .
(Sugestão: Suponha que não seja limitada e construa uma sequência de retângulos como a do exercício 11, tal que f não seja limitada em para n=1,2,3.... conclua que f não será localmente limitada em .)
Passo 1
Vamos supor que não é limitada. Como A compacto e é continua, então é compacto. Então para cada para no domínio de , existe tal que .
Para cada , considere sequência de retângulos . Então, a sequência converge para um ponto . Tomando uma sequência , esta sequência não é limitada, pois Em particular, não é limitada, portanto não possui subsequência convergente.
Mas e por ser continua,
O que é uma contradição.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)