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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 58

14.58. Mostre que o produto das intersecções com os eixos x,y e z de qualquer plano tangente à superfície x y z = c 3 é uma constante.

Passo 1

Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade.

Precisamos provar que as interseções nos eixos x , y e z de qualquer linha tangente à superfície dada são constantes.

Para provar isso, vamos calcular um plano tangente para um ponto genérico x 0 , y 0 , z 0 , se o resultado for uma constante, significa que para qualquer ponto ( x , y , z ) o resultado é uma constante.

relembrando a equação do plano tangente:

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

Passo 2

E vamos reunir outras informaç��es que a gente precisa. Primeiro vamos transformar a nossa equação em função:

F x , y , z = x y z - c 3

Agora vamos encontrar as derivadas parciais:

F x = y z

E

F y = z x

E por último:

F z = x y

Aplicando essas derivadas parciais no ponto que queremos:

F x x 0 , y 0 , z 0 = y 0 z 0

F y x 0 , y 0 , z 0 = x 0 z 0

F z x 0 , y 0 , z 0 = x 0 y 0

Beleza agora temos nosso plano tangente.

y 0 z 0 x - x 0 + x 0 z 0 y - y 0 + x 0 y 0 z - z 0 = 0

Realizando os produtos:

x y 0 z 0 - x 0 y 0 z 0 + y x 0 z 0 - x 0 y 0 z 0 + z x 0 y 0 - x 0 y 0 z 0 = 0

Juntando x 0 y 0 z 0 :

x y 0 z 0 + y x 0 z 0 + z x 0 y 0 = 3 x 0 y 0 z 0

Agora a gente divide tudo por x 0 y 0 z 0 :

x 3 x 0 + y 3 y 0 + z 3 z 0 �� = 1

Passo 3

Pelo nosso plano tangente, vemos que os pontos para intersecção do plano são:

x 3 x 0 + y 3 y 0 + z 3 z 0   = 1

Para encontrar a intersecção com x :

x 3 x 0 + y 3 y 0 + z 3 z 0   = 1

x 3 x 0 + 0 3 y 0 + 0 3 z 0 = 1

x 3 x 0 = 1

x = 3 x 0

Agora para intersecção com y :

x 3 x 0 + y 3 y 0 + z 3 z 0   = 1

0 3 x 0 + y 3 y 0 + 0 3 z 0 = 1

y 3 y 0 = 1

E

y = 3 y 0

Por último com o eixo z :

x 3 x 0 + y 3 y 0 + z 3 z 0   = 1

0 3 x 0 + 0 3 y 0 + z 3 z 0 = 1

z 3 z 0 = 1

E

z = 3 z 0

Fazendo o produto entre esses pontos

3 x 0 ⋅ 3 y 0 ⋅ 3 z 0 = 27 x 0 y 0 z 0 = 27 c 3

O que é uma constante.

Por tanto qualquer produto entre os pontos de intersecção do plano tangente à essa superfície é uma constante.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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