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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.6 - Ex. 1

Nos Exercícios 1-8, encontre equações para

a. o plano tangente

b. a reta normal no ponto P0 na superfície determinada.

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade, para essa bateria de questões precisamos fazer o gradiente que ele trás a informação sobre o plano tangente conforme a definição:

f x P 0 x - x 0 + f y P 0 y - y 0 + f z P 0 z - z 0 = 0

Precisamos fazer a derivida de cada componente multiplicando pelo ponto que estamos analisando.

Passo 2

Sabendo quais são as componentes determinadas pelo ponto determinamos o plano por meio da definição do passo anterior:

2 x - 1 + 2 y - 1 + 2 z - 1 = 0

x + y + z = 3

Essa é a equação do plano tangente, temos a nossa letra a!

Passo 3

A reta normal no ponto P 0 ​ será representada como P t que é a posição da reta normal para t variando. Para encontrar essa reta, usaremos o vetor normal N encontrado anteriormente e a posição P 0 ​ ( 1,1 , 1 ) .

P t = P 0 + t N

P t = 1,1 , 1 + t 2,2 , 2

P t = 1 + 2 t , 1 + 2 t , 1 + 2 t

Assim a equação paramétrica é igual a:

x = 1 + 2 t

y = 1 + 2 t

z = 1 + 2 t

Prontinho!

Resposta

  1. x + y + z = 3
  2. x = 1 + 2 t ; y = 1 + 2 t ; z = 1 + 2 t .

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