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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 15

15. Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada.

f x = s e n   x + 1

Passo 1

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de g ( x ) , mas antes alguns lembretes:

d d x x n = n x n - 1

d d x f x ⋅ g x = f ´ x ⋅ g x + f x ⋅ g ´ ( x )

d d x f x g x = f ´ x ⋅ g x - f x ⋅ g ´ x g x 2

d d x c ⋅ f x = c ⋅ d d x f x = c ⋅ f ´ x ,   s e   c   f o r   c o n s t a n t e   n ã o   d e p e n d e r   d e   x .

d d x f g x = f ´ g x ⋅ g ´ ( x )

Agora ficou fácil derivar g ( x ) , olha só:

f x = s e n   x + 1 = s e n   x + 1 1 2

f ´ x = 1 2 ⋅ s e n   x + 1 - 1 2 ⋅ cos ⁡ x = cos ⁡ x 2 s e n   x + 1

Passo 2

Para encontrar f ´ ´ ( x ) basta derivar f ´ x , usando a regra da potência e do produto temos:

f ´ x = cos ⁡ x 2 s e n   x + 1

f ´ ´ x = 1 2 ⋅ - s e n x ⋅ s e n   x + 1 - cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x 2 s e n   x + 1 s e n   x + 1 2

f ´ ´ x = - 1 2 ⋅ s e n x ⋅ s e n   x + 1 + cos 2 ⁡ x 2 s e n   x + 1 s e n ( x ) + 1

f ´ ´ x = - 1 2 ⋅ s e n x ⋅ 2 ⋅ s e x x + 1 + cos 2 ⁡ x 2 ⋅ s e n   x + 1 s e n ( x ) + 1

f ´ ´ x = - 1 2 ⋅ 2 ⋅ s e x 2 x + 2 ⋅ s e n x + cos 2 ⁡ x 2 ⋅ s e n x + 1 3 2

f ´ ´ x = - 2 ⋅ s e x 2 x + 2 ⋅ s e n x + cos 2 ⁡ x 4 ⋅ s e n x + 1 3 2

Resposta

f ´ x = cos ⁡ x 2 s e n   x + 1

f ´ ´ x = - 2 ⋅ s e x 2 x + 2 ⋅ s e n x + cos 2 ⁡ x 4 ⋅ s e n x + 1 3 2

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