Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 1

Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.

1.

Passo 1

Peguemos a equação ordinária dada no problema:

Pensando nela, vamos encontrar nossa equação característica, que terá o seguinte formato:

Temos portanto que:

E da expressão entre parênteses:

Assim, teremos as seguintes raízes:

Passo 2

Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então como temos uma raiz real e distinta e duas raízes complexas, teremos a seguinte homogênea associada:

Passo 3

Agora precisamos encontrar a nossa solução particular utilizando o método de variação dos parâmetros.

Dicazinha:É possível montar a solução particular, apenas trocando as constantes da homogênea associada, por outros parâmetros, aqui escolhi .

Agora precisamos montar um sistema de matrizes:

Trazendo para o nosso exemplo isso ficaria da seguinte forma:

Vem comigo que você já vai entender! A lógica aqui é a seguinte... Repare que coloquei na equação (1), a seguinte expressão:

Aqui foi feito, somente a derivação das funções , você deve sempre fazer isso partindo da solução particular e seguindo a forma para montagem do sistema de matrizes. Os termos

Isso também vem da solução particular. Aí é só ir montando a matriz como trazido no exemplo genérico. Para montá-la, precisaremos derivar os termos .

Mas como saber em qual ordem de derivada vou parar?

Como aqui temos n=3

Logo vocês precisaram fazer a primeira derivada de cada na linha (2), e a segunda derivada de cada , na linha (3). Ah!! E a única igualdade que será diferente de zero será a da última linha, que por sua vez, será igualada ao que tem na sua solução particular, que nesse caso é .

Matou?!! Isso que quer dizer aquelas n equações algébricas genéricas!

Passo 4

Vamos agora montar um sistema com a equação (2) e (3):

Da equação (4) isolando

Substituindo (6) em (5):

Substituindo (7) em (6) obteremos:

Substituindo (7) e (8) em (1):

Passo 5

Vamos agora resolver as integrais de do passo anterior, encontrando assim: .

Passo 6

Chegamos ao último passo! Agora podemos escrever a nossa solução particular, trocando , pelos respectivos valores encontrados no passo anterior. Assim teremos:

Portanto agora temos os dados necessários, para escrever a solução geral da equação diferencial que nos foi pedida. Esta será dada pela soma da homogênea associada com a solução particular encontrada. Dessa forma, teremos: