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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.12 - Ex. 24

Um cilindro reto é inscrito numa esfera de raio R . Determinar esse cilindro, de forma que seu volume seja máximo

Passo 1

A ideia nessa questão será equacionar o volume do cilindro e em seguida maximizar. Inicialmente vamos considerar o raio da base do cilindro como r e sua altura como h . Fazendo uma ilustração, temos o seguinte:

Aplicando um Pitágoras no triangulo retângulo:

R 2 = r 2 + h 2 2

Assim,

r 2 = R 2 - h 2 4

Passo 2

Agora vamos partir para o equacionar o volume do cilindro.

V = A b a s e × a l t u r a

Logo,

V = π r 2 h

Como já achamos uma relação para r 2 no Passo anterior:

V = π R 2 - h 2 4 h

Fazendo a distributiva:

V h = π R 2 h - π h 3 4

Beleza, já temos uma equação para o volume do nosso cilindro.

Passo 3

Agora vamos derivar e igualar a zero para ver quais são os pontos críticos.

V h = π R 2 h - π h 3 4

Derivando,

V ' h = π R 2 - 3 π 4 h 2

Repare que derivamos em relação a h 😉

Igualando a zero:

π R 2 - 3 π 4 h 2 = 0

Portanto,

h = 2 R 3

Opa, agora que já sabemos a altura basta voltarmos no Pitágoras lá do Passo 1 e acharmos o raio da base.

r 2 = R 2 - h 2 4

Como h = 2 R 3 :

r 2 = R 2 - 4 R 2 3 4

Assim,

r = R 2 3

Resposta

Raio:

r = R 2 3

Altura:

h = 2 R 3

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