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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 16

∬ R y + x y - 2 d A ,   R = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 2 ,   1 ≤   y ≤ 2 }

Passo 1

Falaiiiiiiiii, vamo resolver essa integralzinha ai?! Simbora!!

Temos uma integral dupla e devemos calcular seu valor na região R .

∬ R y + x y - 2 d A ,   R = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 2 ,   1 ≤   y ≤ 2 }

Como fazer?

Primeiro vamos reparar que a região R é um retângulo com x variando de 0 até 2 e y variando também de 1 até 2 .

O diferencial de área d A é d x d y ou d y d x . A escolha vai depender da dificuldade de resolver a primeira integral. Como aqui não faz muita diferença, você pode fazer d y d x por exemplo.

Com essas informações, podemos definir nossa integral e ela vai ficar com essa cara:

∫ 0 2 ∫ 1 2 y + x y - 2 d y d x

Mas lembrando que pra resolver uma integral dupla, começamos integrando de dentro para fora. Nesse caso, vamos começar integrando em d y .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar integrando em d y , ok? Aqui, x age como uma constante.

∫ 0 2 ∫ 1 2 y + x y - 2 d y d x

Integrando em y , temos:

∫ 0 2 y 2 2 + x ∙ y - 1 - 1 y = 1 y = 2 d x

Aplicando os limites de integração. Vamos ficar com:

∫ 0 2 2 2 2 - x 2 - 1 2 2 - x 1 d x

∫ 0 2 3 2 + x 2 d x

Passo 3

Show de bola até aqui galera. Ficamos com essa integral:

∫ 0 2 3 2 + x 2 d x

Agora faltou só a integração em relação a d x !

Integrando:

3 x 2 + x 2 4 x = 0 x = 2

Aplicando os limites de integração:

3 ∙ 2 2 + 2 2 4 - 3 ∙ 0 2 + 0 2 4

3 + 1 - 0 = 4

Logo nossa resposta final é:

∬ R y + x y - 2 d A = 4  

Resposta

∬ R y + x y - 2 d A = 4  

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