Calcule a integral iterada.

3.

∫ 1 4 ∫ 0 2 ( 6 x 2 - 2 x ) d y d x

Passo 1

Fala, galera massa! Tudo belê?

O enunciado jogou pra gente resolver essa integral top, primeiro resolvendo d y e depois d x . Show?

∫ 1 4 ∫ 0 2 ( 6 x 2 - 2 x ) d y d x

Bom, para calcular essa integral começamos sempre pela integral mais interna e o resultado fazer com a integral de fora.

Olha só por onde iremos começar:

∫ 1 4 ∫ 0 2 6 x 2 - 2 x d y d x

Passo 2

Começando a integrar em relação a y .

∫ 0 2 6 x 2 - 2 x d y

Como não tinha nenhum y , vamos colocar um aí:

y ⋅ 6 x 2 - 2 x 0 2

Aplicando os limites de integração, teremos:

2 . 6 x 2 - 2 x - 0 6 x 2 - 2 x

= 12 x 2 - 4 x

Passo 3

Agora ficamos apenas com uma integral em x . Daí é só fazer a magia acontecer.

∫ 1 4 12 x 2 - 4 x   d x

12 x 3 3 - 4 x 2 2 1 4

Dividindo cada numerador pelo denominador,

4 x 3 - 2 x 2 1 4

Daí é só aplicar nos limites:

4 . 4 3 - 2 4 2 - 4 . 1 3 - 2 1 2 = 222

Resposta

∫ 1 4 ∫ 0 2 ( 6 x 2 - 2 x ) d y d x = 222

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