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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 4

Calcule a integral iterada.

4.

∫ 0 1 ∫ 1 2 ( 4 x 3 - 9 x 2 y 2 ) d y d x

Passo 1

Fala, gente bonita! Tudo show?

O enunciado jogou na nossa cara essa integral massa pra ser resolvida, primeiro resolvendo d y e depois d x . Top?

∫ 0 1 ∫ 1 2 ( 4 x 3 - 9 x 2 y 2 ) d y d x

Bom, para calcular essa integral começamos sempre pela integral mais interna e o resultado fazer com a integral de fora.

Olha só por onde iremos começar:

∫ 1 2 4 x 3 - 9 x 2 y 2 d y

Passo 2

Começando a integrar em relação a y .

∫ 1 2 4 x 3 - 9 x 2 y 2 d y

4 x 3 y - 9 x 2 y 3 3 1 2

Aplicando os limites de integração, ficaremos com

4 x 3 ⋅ 2 - 9 ⋅ 2 3 x 2 3 - 4 x 3 ⋅ 1 - 9 ⋅ 1 3 x 2 3

4 x 3 - 21 x 2

Passo 3

Agora ficamos apenas com uma integral em x . Daí é só resolver em relação a x :

∫ 0 1 4 x 3 - 21 x 2   d x

4 x 4 4 - 21 x 3 3 0 1

Dividindo os numeradores por seus respectivos denominadores, chegamos a

x 4 - 7 x 3 0 1

Daí é só aplicar nos limites:

( 1 4 - 7 ⋅ 1 3 ) - ( 0 4 - 7 ⋅ 0 3 ) = - 6

Resposta

∫ 0 1 ∫ 1 2 ( 4 x 3 - 9 x 2 y 2 ) d y d x = - 6

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