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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 5

Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

z = x ⋅ s e n x + y

( - 1 ,   1 ,   0 )

Passo 1

Show de bola, galera. A gente tem aqui uma questão de planos tangentes, vamos lá!

A questão nos dá a função z e um ponto ( - 1 ,   1 ,   0 ) , mas como encontrar essa equação?

Para uma função f x , y = z com derivadas parciais contínuas, podemos descrever a equação do plano tangente no ponto x 0 , y 0 , z 0 como:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Dessa forma, só precisamos encontrar as derivadas parciais f x e f y para substituir nessa equação e teremos nossa resposta!

Passo 2

Para encontrar f x , tratamos y como constante e derivamos em relação a x , de forma que

∂ f ∂ x = d   x ⋅ s e n x + y d x

Que por sua vez pode ser resolvida com a regra do produto!

Relembrando a regra do produto:

Se temos uma função

z = f ( x ) g x

A derivada dessa função vai ser dada por:

z ' = f x ' g x + f ( x ) g x '

De forma que

∂ f ∂ x = d x d x ⋅ s e n x + y + x ⋅ d   s e n x + y d x

f x = s e n x + y + x ⋅ cos ⁡ x + y

Substituindo os valores do ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( - 1 ,   1 ,   0 ) nós temos

f x - 1 ,   1 = - 1

Da mesma forma, para encontrar f y , tratamos x como constante e derivamos em relação a y , de forma que

∂ f ∂ y = x ⋅ d   s e n x + y d y

f y = x ⋅ cos ⁡ x + y

Substituindo os valores do ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( - 1 ,   1 ,   0 ) nós temos

f y - 1 ,   1 = - 1

Passo 3

Agora que temos todos os dados necessários, podemos substituir tudo na fórmula!

De forma que a nossa equação do plano tangente é:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

z - 0 = - 1 ⋅ x + 1 - 1 ⋅ ( y - 1 )

z = - x - y

Resposta

z = - x - y

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Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = x e x y ,( 2 ,0 ,2 )
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = 1 + x ln ⁡ ( x y - 5 ) ,( 2 ,3 )
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = ln ⁡ ( x - 2 y ) ,( 3 ,1 ,0 )
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = 3 y 2 - 2 x 2 + x ,( 2 ,- 1 ,- 3 )
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = y + s e nx y ,( 0 ,3 )