Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

z = 3 * y^2 - 2 * x^2 + x (2, -1, -3)

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? A questão nos dá a superfície

z = 3 y 2 - 2 x 2 + x

E nos pede para encontrar uma equação do plano tangente à ela no ponto ( 2 ,   - 1 ,   - 3 ) , mas como fazemos isso?

Para uma função do tipo z = z ( x , y ) , o plano tangente à essa superfície no ponto ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) é dado por

z - z 0 = ∂ z ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ z ∂ y x 0 , y 0 ( y - y 0 )

Dessa forma só precisamos definir todos os termos dessa equação e teremos nossa resposta!

Passo 2

A nossa superfície é

z = 3 y 2 - 2 x 2 + x

De forma que suas derivadas parciais são

∂ z ∂ x = - 4 x + 1

∂ z ∂ y = 6 y

Substituindo os valores do ponto x 0 = 2 e y 0 = - 1 , temos

∂ z ∂ x 2 ,   - 1 = - 8 + 1 = - 7

∂ z ∂ y 2 ,   - 1 = - 6

Assim, a equação do plano será

z - - 3 = - 7   x - 2 - 6 ( y + 1 )

z + 3 = - 7 x + 14 - 6 y - 6

Ou ainda

z = - 7 x - 6 y + 5

Resposta

z = - 7 x - 6 y + 5

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