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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.4 - Ex. 11

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto.

f x , y = 1 + x ln ⁡ ( x y - 5 ) ,                       ( 2 ,   3 )

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de linearização, vamos lá!

A questão nos dá a função

f x , y = 1 + x ln ⁡ ( x y - 5 )

E nos pede para encontrar sua linearização L ( x , y ) no ponto ( 2 ,   3 ) . Mas como fazemos isso?

É uma questão bem direta: Para uma função do tipo f x , y , a sua linearização em um ponto x 0 ,   y 0 é dada por

L x , y = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 ( y - y 0 )

Contanto que a função seja diferenciável no ponto!

Dessa forma, só precisamos definir todos os termos desssa equação e teremos nossa resposta!

Passo 2

Temos

f x , y = 1 + x ln ⁡ ( x y - 5 )

Vamos então calcular as derivadas parciais de f !

Para a derivada em x

∂ ( 1 + x ln ⁡ ( x y - 5 ) ) ∂ x

Usando a regra do produto e da cadeia, temos

∂ f ∂ x = ln ⁡ x y - 5 + x y x y - 5

Para a derivada em y

∂ ( 1 + x ln ⁡ ( x y - 5 ) ) ∂ y

Usando a regra da cadeia

∂ f ∂ y = x 2 x y - 5

Substituindo os valores do ponto x 0 = 2 e y 0 = 3 :

∂ f ∂ x 2 ,   3 = ln ⁡ 1 + 6 1 = 6

∂ f ∂ y 2 ,   3 = 4 1 = 4

Além disso, temos que o valor da função no ponto é

f 2 ,   3 = 1 + 2 ln ⁡ 1 = 1

Assim, a linearização será

L x , y = 1 + 6 x - 2 + 4 ( y - 3 )

Ou ainda

L x , y = 6 x + 4 y - 23

Resposta

L x , y = 6 x + 4 y - 23

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