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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.4 - Ex. 4

Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

z = x e x y ,                       ( 2 ,   0 ,   2 )

Passo 1

Show de bola, galera. A gente tem aqui uma questão de planos tangentes, vamos lá!

A questão nos dá a função z = x e x y e um ponto ( 2 ,   0 ,   2 ) , mas como encontrar essa equação?

Para uma função f x , y = z com derivadas parciais contínuas, podemos descrever a equação do plano tangente no ponto x 0 , y 0 , z 0 como:

z - z 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Dessa forma, só precisamos encontrar as derivadas parciais f x e f y para substituir nessa equação e teremos nossa resposta!

Passo 2

Para encontrar f x , tratamos y como constante e derivamos em relação a x , de forma que

∂ f ∂ x = d   x e x y d x

Que por sua vez pode ser resolvida com as regras do produto e da cadeia! De forma que

∂ f ∂ x = e x y + x y e x y

Substituindo os valores do ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( 2 ,   0 ,   2 ) , nós temos

∂ z ∂ x 2 ,   0 = e 0 + 0 = 1

Da mesma forma, para encontrar f y , tratamos x como constante e derivamos em relação a y , de forma que

∂ f ∂ y = d   x e x y d y

Usando a regra da cadeia

∂ z ∂ y = x 2 e x y

Substituindo os valores do ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( 2 ,   0 ,   2 ) nós temos

∂ z ∂ y 2 ,   0 = 4 e 0 = 4

Passo 3

Agora que temos todos os dados necessários, podemos substituir tudo na fórmula!

De forma que a nossa equação do plano tangente é:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

z - 2 = 1 ⋅ x - 2 + 4 ⋅ ( y - 0 )

z = x + 4 y

Resposta

z = x + 4 y

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