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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 3

1-6. Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

3. z = e x - y ,   ( 2 ,   2 ,   1 )

Passo 1

E aí, galera! Beleza?

Nessa questão, nós temos a equação da superfície

z = e x - y

e temos que determinar a equação do plano tangente a ela no ponto ( 2,2 , 1 ) .

Para isso, vamos lembrar o seguinte: uma função de uma variável, y = f ( x ) , ela representa uma curva no R 2 . Dado um ponto dessa curva, y = f x 0 , podemos encontrar a equação da reta tangente a ela nesse ponto:

y - y 0 = f ' x 0 ( x - x 0 )

De forma análoga, dada uma função de duas variáveis z = f x , y , sabemos que ela representa uma superfície em R 3 . Dado um ponto nessa superfície, z = f x 0 , y 0 ,   podemos encontrar a equação do plano tangente a ela nesse ponto:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

onde f x x 0 , y 0 e f y x 0 , y 0 são as derivadas parciais da função no ponto e z 0 = f ( x 0 , y 0 ) .

Agora que sabemos isso, vamos às contas...

Passo 2

Vamos pegar a nossa função

z = e x - y

e calcular f x x 0 , y 0 e f y x 0 , y 0 :

Primeiro calculamos f x :

f x = ∂ ∂ x e x - y

Note que temos uma função dentro da exponencial, então utilizaremos a regra da cadeia.

f x = e x - y ⋅ ∂ ∂ x ( x - y )

Logo,

f x = e x - y

Aplicando no ponto 2,2 , temos:

f x 2,2 = e 2 - 2 = 1

Agora vamos calcular f y :

f y = e x - y ⋅ ∂ ∂ y ( x - y )

Assim,

f y =   - e x - y

Substituindo no ponto 2,2 :

f y 2,2 = - e 2 - 2 = - 1

Passo 3

Agora que já determinamos as derivadas parciais no ponto especificado, basta substituirmos z o = 1 , y o = 2 e x o = 2   na equação do plano tangente

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0

saca só:

z - 1 = 1 . x - 2 - 1 . ( y - 2 )

z - 1 = x - 2 - y + 2

∴ z = x - y + 1

É a equação do plano tangente à superfície

z = e x - y

no ponto 2,2 , 1 .

Resposta

z = x - y + 1

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