Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 1
1-6. Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
1.
Passo 1
E aí, galera! Beleza?
Nessa questão, nós temos a equação da superfície
e temos que determinar a equação do plano tangente a ela no ponto .
Para isso, vamos lembrar o seguinte: uma função de uma variável, , ela representa uma curva no . Dado um ponto dessa curva, podemos encontrar a equação da reta tangente a ela nesse ponto:
De forma análoga, dada uma função de duas variáveis sabemos que ela representa uma superfície em Dado um ponto nessa superfície, podemos encontrar a equação do plano tangente a ela nesse ponto:
onde e são as derivadas parciais da função no ponto e .
Agora que sabemos isso, vamos às contas...
Passo 2
Vamos pegar a nossa função
e calcular e .
Como a função é polinomial, aqui vamos aplicar a regra da potência:
Logo
Substituindo o ponto:
E a derivada parcial em será:
Substituindo o ponto:
Ok, encontramos o que queríamos!
Passo 3
Agora que já determinamos as derivadas parciais no ponto especificado, basta substituirmos , e , saca só:
Isolando , teremos:
Que é a equação do plano tangente à função no ponto