Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.4 - Ex. 16
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização da função naquele ponto.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de linearização, vamos lá!
A questão nos dá a função e pede para provar que ela é diferenciável no ponto . Mas como provamos isso?
Para a função ser diferenciável em ela precisa ter as derivadas parciais e contínuas nesse ponto! Além disso, as derivadas e nos pontos próximos de também precisam existir!
E de brinde a questão também pede para encontrarmos a linearização (ou aproximação linear) da função nesse ponto.
Essa linearização da função no ponto é dada pela seguinte fórmula:
Então nosso checklist será:
Encontrar as derivadas parciais e da função;
Provar que são contínuas em ;
Provar que existem para os pontos próximos de ;
E, por fim, montar nossa equação geral de .
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Para
Pela regra da cadeia, temos
Para
Note que ambas as derivadas parciais existem e são bem definidas em , de modo que é diferenciável nesse ponto!
Passo 3
Substituindo os valores do ponto e :
Além disso, o valor da função no ponto é
Assim, a linearização será
Ou ainda