Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 3
3. Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7 ). Não determine os valores numéricos dos coeficientes .
a)
b)
Passo 1
Fala aí! como vai? 😁
Nesse problema temos que decompor as funções de integração em frações parciais...
Lembra como fazemos isso? 😬
Quando temos uma integral cuja função de integração seja uma fração de dois polinômios, podemos tentar decompor a função de integração em frações parciais.
Essa técnica nos ajuda a simplificar a função de integração e consequentemente os nossos cálculos da integral...
Veja só! 😉
Passo 2
Primeiro vamos ver a letra (a), podemos isolar o no denominador, desse jeitinho ó:
Então quer dizer que temos dois polinômios, e .
Para , temos que a função se repete duas vezes, isto é, . Logo, a decomposição dessa função será:
E para , temos uma função sem raízes reais, e de acordo com a propriedade, temos que sua decomposição será:
Portanto a decomposição por frações parciais fica assim:
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Belezoca, agora para a letra (b), temos a seguinte função:
Colocando o em evidência e fatorando a equação do segundo grau, ficaríamos assim:
No numerador temos um polinômio de grau 3 e em baixo também.
Podemos reescrever da seguinte maneira
Isso seria a solução se não fosse esse termo que tem uma função do segundo grau no numerado e outra do segundo grau no denominador.
Temos que trabalhar nele um pouquinho. Tem algumas formas de fazer isso.
A que eu vou fazer vai ser somar e subtrair no numerador para aparecer o termo assim
Aí podemos usar a diferença de quadrados
Assim a nossa fração original fica
Bacana, não é? 😎
Passo 4
Agora sobrou um polinômio do primeiro grau no numerador e outro no denominador.
Vamos fazer mais um truquezinho. Vamos fazer aparecer no numerador! Pra isso vamos somar e subtrair 2 no numerador!
Show! Agora a nossa fração fica assim
Aí sim podemos escrever em termos de frações parciais! O primeiro e o segundo termo já estão direitinhos! O terceiro termo fica
O quarto fica
Finalmente a nosssa decomposição vai ficar:
Legal, né? O que achou? Responde Aí! 😉
