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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 9

7-38

Calcule a integral.

9.

int (x - 9)/((x + 5) (x - 2)) d x

Passo 1

Opa, tudo certo? Pra fazer essa integralzinha vamos fazer frações parciais, beleza?

(x - 9)/((x + 5) (x - 2)) = (A)/(x + 5) + (B)/(x - 2)

Aí é só fazer MMC

(x - 9)/((x + 5) (x - 2)) = (A (x - 2) + B (x + 5))/((x + 5) (x - 2))

Agora é só cortar os denominadores

x - 9 = A (x - 2) + B (x + 5)

Olhando pra essa expressão, se fizermos x = 2 vamos ter

2 - 9 = A (2 - 2) + B (2 + 5) -> - 7 = 7 B -> B = - 1

Se fizermos x = - 5

- 5 - 9 = A (- 5 - 2) + B (- 5 + 5) -> - 14 = - 7 A -> A = 2

Show! Finalmente podemos reescrever o termo da nossa integral como

(x - 9)/((x + 5) (x - 2)) = (2)/(x + 5) + (- 1)/(x - 2)

Passo 2

Agora é só partir pra integral! \o/

int (x - 9)/((x + 5) (x - 2)) d x = int (2)/(x + 5) d x + int - (1)/(x - 2) d x = 2 int (d x)/(x + 5) - int (d x)/(x - 2)

O bom, é que essas duas integrais têm a mesma cara! Pra essas duas vamos usar a seguinte fórmula

int (d x)/(x + a) = ln |x + a|

Na primeira integral, a = 5 e na segunda a = - 2 ,então vamos ter

2 int (d x)/(x + 5) - int (d x)/(x - 2) = 2 ln |x + 5| - ln |x - 2|

Só não pode esquecer da constante, heeeeeinnnn!

int (x - 9)/((x + 5) (x - 2)) d x = 2 ln |x + 5| - ln |x - 2| + C

E esse é o resultado da nossa integral :D

Feshow? ;)

Resposta

int (x - 9)/((x + 5) (x - 2)) d x = 2 ln |x + 5| - ln |x - 2|

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