7-38

Calcule a integral.

9.

∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x

Passo 1

Opa, tudo certo? Pra fazer essa integralzinha vamos fazer frações parciais, beleza?

x - 9 x + 5 x - 2 = A x + 5 + B x - 2

Aí é só fazer MMC

x - 9 x + 5 x - 2 = A x - 2 + B x + 5 x + 5 x - 2

Agora é só cortar os denominadores

x - 9 = A x - 2 + B x + 5

Olhando pra essa expressão, se fizermos x = 2 vamos ter

2 - 9 = A 2 - 2 + B 2 + 5 → - 7 = 7 B → B = - 1

Se fizermos x = - 5

- 5 - 9 = A - 5 - 2 + B - 5 + 5 → - 14 = - 7 A → A = 2

Show! Finalmente podemos reescrever o termo da nossa integral como

x - 9 x + 5 x - 2 = 2 x + 5 + - 1 x - 2

Passo 2

Agora é só partir pra integral! \o/

∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x = ∫ 2 x + 5 d x + ∫ - 1 x - 2 d x = 2 ∫ d x x + 5 - ∫ d x x - 2

O bom, é que essas duas integrais têm a mesma cara! Pra essas duas vamos usar a seguinte fórmula

∫ d x x + a = ln ⁡ x + a

Na primeira integral, a = 5 e na segunda a = - 2 ,então vamos ter

2 ∫ d x x + 5 - ∫ d x x - 2 = 2 ln ⁡ x + 5 - ln ⁡ x - 2

Só não pode esquecer da constante, heeeeeinnnn!

∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x = 2 ln ⁡ x + 5 - ln ⁡ x - 2 + C

E esse é o resultado da nossa integral :D

Feshow? ;)

Resposta

∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x = 2 ln ⁡ x + 5 - ln ⁡ x - 2

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