17. O calor transferido de um corpo para seu ambiente por radiação, baseado na lei de StefanBoltzmann,5 é descrito pela equação diferencial

du/dt = -α (u^4 - T^4)

em que u(t) é a temperatura absoluta (em graus Kelvin) do corpo no instante t, T é atemperatura absoluta do ambiente, e α é uma constante que depende dos parâmetros físicos docorpo. No entanto, se u for muito maior do que T, as soluções da Eq. (i) podem ser bemaproximadas por soluções da equação mais simples

du/dt = -α * u^4

Suponha que um corpo, a uma temperatura inicial de 2000°K, está em um meio à temperaturade 300°K e que α = 2,0 × 10–12 °K–3/s.(a) Determine a temperatura do corpo em um instante qualquer resolvendo a Eq. (ii).(b) Faça o gráfico de u em função de t.(c) Encontre o instante τ no qual u(τ) = 600, ou seja, o dobro da temperatura ambiente. Até esseinstante, o erro ao usar a Eq. (ii) para aproximar as soluções da Eq. (i) não é maior do que 1%.

Passo 1

Como a temperatura do corpo é muito maior que a do ambiente, vamos usar a versão simplificada da equação diferencial

d u d t = - α u 4

Essa equação é separável, logo podemos jogar tudo que é u para um lado e tudo que é t para o outro

1 u 4 d u = - α d t

- 1 3 u - 3 = - α t + c

u = - - 3 α t + 3 c - 1 3  

Onde α   =   2,0   ×   10 – 12   ° K – 3 / s , podemos reescrever nossa função como

u = - - 6 ⋅ 10 - 12 t + 3 c - 1 3

Passo 2

Vamos descobrir c

u 0 = 2000

2000 = 3 c - 1 / 3

3 c = 2000 - 3

Logo nossa equação fica

u = - - 6 ⋅ 10 - 12 t + 2000 - 3 - 1 3

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

u = - - 6 ⋅ 10 - 12 t + 2000 - 3 - 1 3

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