Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 52
Depois de pesquisar, certo fabricante determinou que se unidades de um dado artigo forem produzidas por dia, o custo marginal será dado por , onde é o custo total da produção de unidades. Se o preço de venda do artigo for fixado em $19 por unidade e o custo geral for $100 por dia, ache o lucro máximo diário que poderá ser obtido.
Passo 1
Sabemos que a função lucro é dada pela expressão , onde é o custo total e é a receita obtida na venda de unidades. Devemos então obter a expressão do custo total e da receita total, para então achar a função lucro e tentar maximizá-la.
Passo 2
A função custo total será a antiderivada da função custo marginal. Devemos então integrar a função . Temos então:
Mas sabemos que o custo geral, ou seja, o custo fixo que não depende da quantidade produzida é $100, o que nos permite afirmar que . A expressão do custo então fica:
Passo 3
A receita total é dada pela expressão , onde é o preço da unidade e é a quantidade de unidades vendidas. Pelo enunciado, o preço é fixo e igual a $19, então a expressão da receita total é:
Passo 4
Agora que temos as funções do custo total e da receita total, podemos obter a função lucro:
O gráfico de é uma parábola com concavidade para baixo. A abcissa onde ocorre o máximo de uma parábola pode ser calculado facilmente pela fórmula . Temos então . O máximo da função é então:
Resposta
$1400