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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 18

Verifique a aproximação linear em ( 0 ,   0 ) .

y - 1 x + 1 ≈ x + y - 1

Passo 1

Show de bola, galera. Questãozinha de aproximação linear, vamos lá!

A questão nos dá a função y - 1 x + 1 e pergunta se a aproximação linear x + y - 1 é válida.

Mas o que é a aproximação linear? É uma aproximação da função que serve para valores de x ,   y próximos de um ponto! Nesse caso a questão disse que é o ponto a , b = ( 0 ,   0 ) .

E como encontramos essa aproximação linear? Simples! Com a seguinte equação geral!

L ( x , y ) = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

Onde para pontos próximos de a ,   b podemos considerar

L ( x , y ) ≈ f x , y

Resumo da ópera: Vamos encontrar L ( x , y ) para a função y - 1 x + 1 e o ponto 0 ,   0 ) e depois verificar se

L x , y = x + y - 1

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar dando nome aos bois para simplificar a nossa vida, ok? Seja

f x ,   y = y - 1 x + 1

Assim, para escrevermos L ( x , y ) nos falta encontrar f a ,   b e as derivadas parciais f x a ,   b e f y a ,   b !

O valor de f a ,   b para a , b = ( 0 ,   0 ) é

f 0 ,   0 = 0 - 1 0 + 1 = - 1

Show, agora para encontrarmos f x nós derivamos f em x enquanto consideramos y como constante!

De forma que

f x = y - 1 x + 1

∂ f ∂ x = ( y - 1 ) d d x x + 1 - 1  

f x = - y - 1 ( x + 1 ) ²

E agora substituindo o ponto temos

f x 0 ,   0 = - 0 - 1 0 + 1 2

f x 0 ,   0 = 1

Da mesma forma para encontrarmos f y nós derivamos f em y enquanto consideramos x como constante!

De forma que

f y = y - 1 x + 1

∂ f ∂ y = 1 x + 1 ⋅ d d y y - 1

f y = 1 x + 1

E agora substituindo o ponto temos

f y 0 ,   0 = 1

Passo 3

Agora que temos todos os valores podemos jogar tudo na formula da aproximação linear!

L x , y = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

L x , y = - 1 + 1 x - 0 + 1 y - 0

L x , y = x + y - 1

Ou seja, a aproximação proposta no enunciado é válida!

Resposta

A aproximação y - 1 x + 1 ≈ x + y - 1 é válida.

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