17-40 Encontre os limites.

25- underset(theta -> 0^+)(lim) (s e n theta)/(theta^2)

Passo 1

Gente, quando vocês verem uma questão assim, a primeira coisa que tem que vir na cabeça de vocês é esse limite fundamental:

underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(x) = 1

Temos que:

underset(theta -> 0^+)(lim) (s e n theta)/(theta) xx (1)/(theta)

Lembrando que, o limite do produto é igual ao produto dos limites. Dessa forma,

underset(theta -> 0^+)(lim) (s e n theta)/(theta) xx underset(theta -> 0^+)(l i m) (1)/(theta)

Agora, vamos fazer a substituição x = theta e usar o fato de que x -> 0 quando theta -> 0 . Assim,

underset(x -> 0^+)(lim) (s e n x)/(x) xx underset(x -> 0^+)(l i m) (1)/(x)

Pelo teorema, nós sabemos que o primeiro limite é igual a 1 e no segundo limite, como o denominador tende a zero por valores positivos, a razão se aproxima do + oo . Logo,

underset(theta -> 0^+)(lim) (s e n theta)/(theta^2) = + oo

Resposta

+ oo

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