Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 4
Prove que é contínua.
Passo 1
Nessa questão devemos provar está compreendido dentro do intervalo continuo de uma função. Mas vamos fazer isso formalmente, então vamos usar varias letras e conceitos.
Então devemos provar que é contínua em todo dado, onde é um ponto da função.
Para isso, devemos provar que para qualquer exista um intervalo aberto que contenha e satisfaça:
Precisamos resolver a inequação, mas temos comportamentos diferentes de para ímpar ou par, então devemos analisar cada caso separadamente:
Passo 2
1º Caso: é ímpar:
Sendo ímpar, temos:
Assim, podemos tomar nosso conjunto aberto como:
Então, para todo temos que
Logo, é contínua em todo real quando é ímpar.
Passo 3
2º Caso: é par:
Nesse segundo caso, devemos lembrar que não existe raiz com índice par de número negativo, então temos sempre . Ou seja, vamos estudar apenas os valores positivos de e ele no ponto zero. Então, para , temos:
Para :
Como
Temos que
Assim, podemos tomar nosso conjunto aberto como:
Então, para todo temos que
Logo, é contínua em .
Para , temos que para todo desde que :
Assim, podemos tomar nosso conjunto aberto como:
Onde temos:
Logo, é contínua em todo real.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)