Enunciado

Investigue a continuidade nos pontos indicados:

f (x) = x - |x| e m x = 0

Passo 1

Vamos ver o que é necessário para uma função ser contínua no ponto a :

  1. f é definida no ponto a ;
  2. underset(x -> a)(lim) f (x) existe;
  3. underset(x -> a)(lim) f (x) = f (a) .

Vamos então ver se as três condições são aceitas.

Passo 2

Primeiro vamos ver se f é definida no ponto x = 0 :

f (0) = 0 - |0| = 0

Então ela é definida nesse ponto.

Passo 3

Vamos agora ver se o underset(x -> 0)(lim) x - |x| existe, para isso valor calcular esse limite pela direita e pela esquerda, se eles forem iguais, o limite existe e possui esse valor:

underset(x -> 0 ⁺)(lim) f (x) = underset(x -> 0 ⁺)(lim) x - x = underset(x -> 0 ⁺)(lim) 0 = 0

underset(x -> 0 ⁻)(lim) f (x) = underset(x -> 0 ⁻)(lim) x - |x| = underset(x -> 0 ⁻)(lim) x + x = underset(x -> 0 ⁻)(lim) 2 x = 0

Assim:

underset(x -> 0)(lim) x - |x| = 0

Então pronto, ele existe, passa pela segunda condição.

Passo 4

Vamos agora ver a terceira condição:

underset(x -> 0)(lim) x - |x| = 0 = f (0) = 0

Pronto, passou também pela terceira condição, então f (x) é contínua em x = 0 .

Resposta

f (x) é contínua em x = 0

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