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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 32

17-40 Encontre os limites.

32. underset(h -> 0)(lim) (s e n h)/(1 - c o s h)

Passo 1

Vamos começar tentando resolver aquele s e n h ali de cima. Para tanto, vamos dividir o denominador e o numerador por h .

underset(h -> 0)(lim) (s e n h)/(1 - c o s h) = underset(h -> 0)(lim) ((s e n h)/(h))/(((1 - c o s h))/(h))

Passo 2

Agora, é só usar o teorema aquele teorema que diz que underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(x) = 1 . Assim,

underset(h -> 0)(lim) ((s e n h)/(h))/(((1 - c o s h))/(h)) = underset(h -> 0)(lim) (1)/(((1 - c o s h))/(h))

Passo 3

Para a parte de baixo, nós precisaremos fazer algumas manipulações. Vem comigo!!!

underset(h -> 0)(lim) (1)/(((1 - c o s h))/(h)) = underset(h -> 0)(lim) (1)/(((1 - c o s h) ( 1 + c o s h ))/(h ( 1 + c o s h )))

Sabemos que (1 - c o s h) ( 1 + cosh ) é um produto notável cujo resultado é 1 - cos^2 h . Mas essa é uma identidade trigonométrica que nós sabemos: s e n^2 h = 1 - cos^2 h . Agora, é só substituir.

underset(h -> 0)(lim) (1)/(((1 - c o s h) ( 1 + c o s h ))/(h ( 1 + c o s h ))) = underset(h -> 0)(lim) (1)/((s e n^2 h)/(h ( 1 + c o s h )))

Utilizando novamente o teorema do passo anterior, vamos obter:

underset(h -> 0)(lim) (1)/((s e n^2 h)/(h ( 1 + c o s h ))) = underset(h -> 0)(lim) (1)/((s e n h . s e n h)/(h ( 1 + c o s h )))

underset(h -> 0)(lim) (1)/((s e n h)/(( 1 + c o s h )))

underset(h -> 0)(lim) (1)/((s e n 0)/(( 1 + c o s 0 ))) = underset(h -> 0)(lim) (1)/((0)/(2)) = oo

Resposta

oo

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