Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 53
Encontre as coordenadas do ponto na curva:
De modo que o segmento da reta tangente em , determinado pelos eixos coordenados, tenha o menor comprimento.
Passo 1
Então pessoal, inicialmente vamos chamar as coordenadas do ponto na curva de . Como temos a informação da curva que nos foi dada, então essas coordenadas pertencem à nossa curva, que é essa aqui:
Temos que o segmento da reta tangente em vale:
E a equação da reta é dada seguinte forma:
No qual é a reta tangente. Substituindo o que temos:
Show!
Passo 2
Para quando , temos que:
E para quando , temos que:
Sendo assim, esses são os nossos comprimentos nos eixos cartesianos! Como o segmento de reta é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por e , então:
No entanto, queremos as coordenadas para quando é mínimo, então teremos que utilizar os conceitos que conhecemos do cálculo! A fim de facilitar nossa derivação, vamos elevar ambos os membros da equação ao quadrado:
Passo 3
Derivando nossa expressão, teremos:
Igualando a zero:
A única forma disso resultar em zero é se:
Então:
E disso tiramos que:
E essas são as coordenadas do ponto na curva de modo que o segmento da reta tangente em , determinado pelos eixos coordenados, tenha o menor comprimento!
Resposta
Coordenadas: